剛剛寫過一篇用MATLAB實現離散傅立葉級數的博文，如下：

離散傅立葉變換不是一種神奇的東西，它和離散傅立葉級數關係很緊密，緊密到使用MATLAB編寫離散傅立葉變換以及逆變換的函式一模一樣，只需改個名字即可。

因為離散傅立葉級數是一個週期的訊號，我們編寫DFS以及IDFS函式時候，也通常只能考慮一個週期的時域訊號以及頻域訊號，儘管我們心裡都明白它是一個週期的訊號。

那離散傅立葉變換DFT就是對一個時域非週期的訊號x（n）作變換，這個非週期的訊號x(n)經過週期延拓就可以得到一個週期訊號xtilde(n)，同樣，離散傅立葉級數係數是一個頻域的週期訊號，離散傅立葉變換隻是取其一個主值週期而已。

下面詳細闡述。

定義一個週期訊號，它的主值區間就是一個有限長訊號，然後對這個週期訊號應用DFS。實際上可以定義一個新的變換稱為離散傅立葉變換（DFT），它就是這個DFS的主值週期。這個DFT就是任意有限長序列的最終數值可計算的傅立葉變換。

首先定義一個有限長序列x(n)，它在上有N個樣本，作為一個N點序列。令是用這個n點序列x(n)建立的一個週期為N的週期訊號，即：

令離散傅立葉級數係數：

它是一個週期序列（因此也是無限長序列），那麼它的主值區間就是離散傅立葉變換，它是有限長的。這些概念清楚表明在下面的定義中：

這樣的話：

其中：

一個N點的DFT X(k) 的逆離散傅立葉變換給出為：

或者：

理論知識說明完了，現在就用MATLAB語言來實現DFT以及IDFT。

同樣使用向量化程式設計，具體的推導見一開始推薦的那篇博文，裡面由我的推導，這裡將DFS以及IDFS函式直接改個名字給出DFT以及IDFT的函式：

dft.m

function [Xk] = dft(xn,N)
% Computes Discrete Fourier Transform
%______________________________________________
% [Xk] = dft(xn,N)
% Xk = DFT coefficients array over 0 <= k <= N - 1
% xn = N-point finite - duration sequence 0 <= n <= N - 1
% N = Length of DFT

n = [0:1:N-1]; % row vector for n
k = [0:1:N-1]; % row vector for k
WN = exp(-j*2*pi/N);
nk = n'*k;
WNnk = WN .^ nk;   %DFT matrix
Xk = xn * WNnk;
 

idft.m

function [xn] = idft(Xk,N)
% Computes Inverse Discrete Fourier Transform
%______________________________________________
% [xn] = idft(Xk,N)
% Xk = DFT coefficients array over 0 <= k <= N - 1
% xn =  N-point sequence over 0 <= n <= N - 1
% N = Length of DFT

n = [0:1:N-1]; % row vector for n
k = [0:1:N-1]; % row vector for k
WN = exp(-j*2*pi/N);
nk = k' * n;
WNnk = WN .^(- nk);   %IDFT matrix
xn = (Xk*WNnk)/N;

具體的案例分析見下篇博文。

歡迎檢視我的數字訊號處理的MATLAB實現專欄：數字訊號處理的MATLAB實現