1. 傅立葉級數

1.1 特徵函式

　　上篇我們已經知道，LIT系統可以由單位衝激響應\(h(t)\)完全表徵，且\(x(t)\)在系統的輸出函式是\(x(t)*h(t)\)。這個結論是分析LIT系統的基礎理論，甚至我們可以認為，LIT系統至此已經被完全解析了。但不要忘記，解析訊號系統的目的，最終是為了分析訊號或系統的特性、設計特定系統以處理訊號。所以下一步就是要建立分析訊號或系統的方法，並搞清系統對訊號產生的根本性影響。單位衝激響應\(h(t)\)可視為系統的“固有訊號”，所以接下來“訊號”就是我們要面對的關鍵物件。

　　訊號千變萬化，一套完備的“特徵”，一般要求它們互相獨立、又能完整地表徵物件。對待實變數函式，一種典型的思路是建立完備的“特徵函式系”，特徵函式之間有一定獨立性，而任何函式可以被“特徵係數”唯一表徵。另外LIT是一個線性系統，線上性問題中有一個普遍而有效的思路，它非常類似於線性變換的特徵向量理論。就獨立性而言，我們希望“特徵函式”\(x(t)\)的系統輸出有簡單的格式\(K(x(t))\cdot x(t)\)。

　　為了找到特徵函式，我們得回到系統的表徵函式\(\int h(\tau)x(t-\tau)\text{d}\tau\)中去。由其形式特點並聯想到指數函式的特性，不難發現指數函式\(e^{st}\)滿足式（1），以後我們把這樣的函式稱為LIT系統的特徵函式。其中\(H(s)\)僅由系統和\(s\)決定，它是\(e^{st}\)經過系統後的“特徵係數”，也被稱為系統的特徵值。值得提醒的是，\(s\)是在複數域的。復指數函式的一般形式是\(z^t\)，但以\(e\)為低的複數表示更便於指數、導數等運算，故這裡用\(e^s\)表示複數\(z\)。回顧複數的知識，\(s=\sigma+j\omega\)，其中\(e^\sigma\geqslant 0\)是\(z\)的模，\(\omega\)是\(z\)的輻角（順時針為正向）。

\[e^{st}\to H(s)e^{st},\,(s\in\Bbb{C}),\;\;H(s)=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)e^{-s\tau}\,\text{d}\tau\tag{1}\]

1.2 三角基波

　　特徵函式有很多，下面就要挑選合適的做“特徵函式系”。當\(\sigma\ne 0\)時，\(e^{st}\)的範數\(e^{\sigma t}\)是無界的，使用起來比較棘手。這裡先設\(\sigma=0\)，純虛數指數函式（式（2））將構成我們需要的特徵函式系（也叫基波）。函式值\(e^{j\omega t}\)隨\(t\)在單位圓上做圓周運動，\(\omega\)是運動的角速度（弧度），運動的週期即為\(2\pi/|\omega|\)。教材裡一般把\(\omega\)稱為基波頻率，而真實的頻率其實是\(|\omega|/2\pi\)，請注意區分。

\[e^{\text{j}\omega t}=\cos\omega t+j\sin\omega t,\,(\omega\in\Bbb{R});\;\;T=\dfrac{2\pi}{|\omega|}\tag{2}\]

　　\(e^{j\omega t}\)的實部、虛部都是正弦函式（這裡不區分正餘弦），正弦函式級數的性質已經被深入研究，用它們做基波是很方便的分析工具。傅立葉分析的早期研究物件，就是各種三角級數的收斂性。然而\(e^{j\omega t}\)才是三角函式更本質的形式，而且使用起來更加方便，所以今後我們都用復指數函式作為基波。複數域比實數域完備，所以複數運算更加方便自由，在純數學上，不會因為一個概念“不夠直觀”而忽視它的價值。另外，系統的特徵值\(H(j\omega)\)又被稱為頻率響應，它由衝激響應\(h(t)\)所決定，後面將會看到它們的密切關係。

1.3 傅立葉級數

　　由於最早研究的函式分解就是三角函式級數，所以分解的物件也限定在了周期函式上。設函式\(x(t)\)的週期為\(T\)，角速度為\(\omega_0\)，傅立葉級數將它分解為基波頻率為\(k\omega_0,(k\in\Bbb{Z})\)的純虛指數函式的級數（式（3）左）。為了求得係數\(a_k\)，可以利用\(\{e^{j\omega t}\}\)對積分運算的“正交性”，驗證可有式（3）右成立。式（3）就是傅立葉級數（FS）的完整表示式了，一般記作\(x(t)\overset{FS}\leftrightarrow a_k\)，其中\(a_k\)也稱為FS的頻譜系數。

\[x(t)=\sum_{k\in\Bbb{Z}}a_ke^{jk\omega_0 t},\;a_k=\dfrac{1}{T}\int_Tx(\tau)e^{-jk\omega_0\tau}\,\text{d}\tau\tag{3}\]

　　當然式（3）不是對所有周期函式都成立，狄利克雷條件給出了存在傅立葉級數的充分條件：（1）\(x(t)\)絕對可積；（2）週期內只有有限個起伏；（3）週期內只有有限個不連續點。這個條件包含了非常大範圍的函式，因此它有著很廣泛的實用價值。值得提醒的是，在不連續點\(t_0\)處，傅立葉級數收斂於\([x(t_0^-)+x(t_0^+)]/2\)，但在個別點的誤差並不影響FS成為有力的分析工具。從表示式還能知道，相近的兩個函式的頻譜系數也是相近的，所以頻譜系數具有一定“穩定性”。分解級數和積分式不一定存在，但如果一個式子存在，另一個式子也必然是存在的，且都具有唯一性。用帶入證明會遇到根本性的困難，我們只能到傅立葉分析裡找答案。

　　第一次面對FS的結論時，我們不禁想問：這個分解為什麼會成立？它有沒有更直觀的解釋？我想這樣闡述（瞎說）FS的本質：函式就是一個隨時間不斷變化的量，這個“變化”可以從巨集觀到微觀去依次去量化。就拿三角級數（4）來說，常數項\(a_0\)度量了\(x(t)\)相對0值的平均變化，去除\(a_0\)後\(a_1\)繼續度量每半邊的平均變化（左右相等但符號相反，使用三角函式可統一系數），然後再繼續度量半邊的兩個半邊，以此類推。顯然中心對稱的函式都可以做基波，但唯有三角函式簡單且有很好的分析性質。

\[x(t)=a_0+a_1\sin\omega_0 t+a_2\sin2\omega_0 t\tag{4}\]

2. 傅立葉變換

2.1 傅立葉變換

　　傅立葉級數有著明顯的侷限性，最顯然的就是它只適用於周期函式，而且如果把頻譜系數作為函式的唯一表徵，還必須限定在某個週期下。另一個缺陷不太明顯但很重要，就是FS的頻譜是不連續的，這限制了處理訊號的範圍。為了得到一般函式\(x(t)\)的頻譜，先以\(t=0\)為中心擷取長度為\(T\)的片段，然後展開成周期函式\(\tilde{x}(t)\)。對它做FS可以得到式（5），其中\(\{Ta_k\}\)是函式\(X(j\omega)\)上的等間隔點。

\[Ta_k=X(jk\omega_0),\;\;X(j\omega)=\int_Tx(t)e^{-j\omega t}\,\text{d}t\tag{5}\]

　　隨著\(T\)逐漸增大直至無窮，\(\tilde{x}(t)\)變成\(x(t)\)，\(\{Ta_k\}\)也越發密集直至完全變成函式\(X(j\omega)\)（這當然不是嚴格的數學證明，但也不失為一個好的直觀闡述）。從離散到連續的變化中，\(\omega_0\)變成微分\(\text{d}\omega\)，\(a_k\)則變成了\(\dfrac{1}{2\pi}X(j\omega)\,\text{d}\omega\)（因為\(T=2\pi/\omega\)）。最終（連加變成積分）\(\tilde{x}(t)\)的FS也變成了\(x(t)\)的傅立葉變換（FT，式（6）），一般記作\(x(t)\overset{F}\leftrightarrow X(j\omega)\)，其中\(X(j\omega)\)還是稱為頻譜系數。

\[x(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)e^{j\omega t}\,\text{d}\omega;\;\;X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\,\text{d}t\tag{6}\]

　　傅立葉變換也有對應的狄利克雷條件，只需把FS中的“週期內”改成“有限區間內”即可（以下把左式叫分解式、右式叫變換式）。狄利克雷條件是FT積分（處處）收斂的的充分非必要條件，在該條件下的分解式、變換式都是非奇異的。但在奇異函式的概念下，這些積分可以在更大的範圍內“存在”，比如\(\delta(t)\)的FT是\(1\)，但分解式顯然不收斂。所以這裡要強調，傅立葉變換的存在性是比收斂性更寬泛的概念，數學上已經證明：分解式、變換式是同時存在的，且互相具有唯一性。

　　公式（6）說明了，函式和頻譜系數是互相確定的，\(\{e^{j\omega t}\}\)是一個完備的特徵函式系。頻譜系數可以完全表徵一個函式，它一般被稱為函式的頻域特徵，相對而言函式自身則是時域特徵。時域、頻域是分析訊號或系統的兩個角度，它們在不同的場景下有各自的長處。對於系統的衝激函式\(h(t)\)，從式(1)可知，頻率響應函式\(H(j\omega)\)就是\(h(t)\)的傅立葉變換。也就是說，\(h(t),H(j\omega)\)分別是系統的時域、頻域表徵（後者也被稱為系統函式），兩者對系統分析都至關重要。

　　狄利克雷條件是FT收斂的充分而非必要條件，鑑於FS和FT的關係，下面來討論怎樣把FS納入FT中去。其實FT的頻譜系數\(X(j\omega)\)是不同基波的“密度”函式，\(e^{j\omega t}\)在分解中的“份量”是\(\dfrac{1}{2\pi}X(j\omega)\,\text{d}\omega\)。反觀FS的頻譜系數\(a_k\)，\(e^{jk\omega_0}\)提供的“份量”就是\(a_k\)，它在FT中的“密度”應當是\(2\pi a_k\delta(\omega-k\omega_0)\)。綜合便有了FS的FT格式（式（7）），它其實就是周期函式的傅立葉變換。

\[X(j\omega)=\sum_{k\in\Bbb{Z}}2\pi a_k\delta(\omega-k\omega_0)\tag{7}\]

2.2 拉普拉斯變換

　　傅立葉變換的收斂性對函式有一定要求，比如函式一定要是有界的，這將限制對很多訊號和系統的討論。尤其在做系統的定性分析時，我們希望面對一個更大的系統空間進行系統設計。另一方面，LIT的特徵函式\(e^{st}\)中的\(s\)可取遍整個複數域，而FT的基波\(e^{j\omega t}\)僅僅是\(s=\sigma+j\omega\)取虛軸而建立的函式系。為了研究用一般的\(e^{st}\)為基波的分解，可以考慮在FT兩邊同時乘上函式\(e^{\sigma t}\)（式（8）），其中\(\sigma\)是一個定值。

\[x(t)e^{\sigma t}=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)e^{(\sigma+j\omega)t}\,\text{d}\omega\tag{8}\]

　　式（8）其實就是\(x(t)e^{\sigma t}\)在函式系\(\{e^{(\sigma+j\omega)t}\}\)下的分解，由於\(\sigma\)是一個定值，\(s\)取在某條跟虛軸平行的直線上。一般地，式（9）被稱為拉普拉斯變換（LT），並計作\(x(t)\overset{L}{\leftrightarrow}X(s)\)，它和FT顯然有關係式（10）。\(H(s)\)可以視為函式的\(s\)域特徵，它是對頻域的擴充，在系統分析中也將起到更大的作用。還是得強調一下，雖然\(X(s)\)的定義域可以是整個複數域，但在某個具體的拉普拉斯變換中，\(s\)僅在一條虛軸平行線上（\(\sigma\)是定值）。課本中將逆變換寫成了複數在曲線上的微分，我覺得對本課程沒有意義。

\[x(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(s)e^{st}\,\text{d}\omega;\;\;X(s)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-st}\,\text{d}t\tag{9}\]

\[x(t)\overset{L}{\leftrightarrow}X(\sigma+j\omega)\;\;\Leftrightarrow\;\;x(t)e^{-\sigma t}\overset{F}{\leftrightarrow}X(j\omega)\tag{10}\]

　　對於一個函式\(x(t)\)和固定的\(\sigma\)，如果LT對所有的\(\omega\)都收斂，那麼稱\(x(t)\)的LT在\(\sigma\)處收斂。那些收斂的\(\sigma\)稱為LT的收斂域（ROC），但要注意，收斂域外的某個具體\(s\)處，LT積分也可能收斂。課本上以\(s\)定義收斂域，其實並無本質區別，因為LT總是定義在整條虛軸平行線上的。如果\(x(t)\)有限持續（\(|t|>T\)後為0），積分總是收斂的，它的ROC是整個複平面。如果\(x(t)\)左邊有限持續（右邊訊號），考察\(x(t)e^{-\sigma t}\)的絕對可積性，如果在\(\sigma_0\)處絕對可積，則易證在\(\sigma>\sigma_0\)上都可積，從而ROC為右半平面。同樣道理，左邊訊號的ROC就是左半平面。而一般的雙邊訊號，可將其分割為左右兩部分，結合剛才的結論可知，ROC是一個帶狀區域。

　　以上左/右平面、帶狀區域的邊界是否收斂視情況而定，而且邊界本身可能是不存在的（無窮大小），以下不再說明。衝激響應\(h(t)\)的拉普拉斯變換\(H(s)\)是系統的\(s\)域特徵，它還是被稱為系統函式，其ROC與系統性質有著一些關聯。比如因果系統的衝擊響應是一個右邊訊號，從而系統函式的ROC必定是右半平面。還有一個穩定系統的衝激響應是絕對可積的，從而它的傅立葉變換收斂，也就是說系統函式的ROC必須包含虛軸。