【參考資料】
【1】《複變函式與積分變換》
【2】《數字訊號處理》

1. 傅立葉級數

定義: 設$f_T(t)$是以T為週期的實值函式，且在$[-\dfrac{T}{2}, \dfrac{T}{2}]$上滿足狄利克雷條件，即：
1）連續或只有有限個第一類間斷點；
備註：第一類間斷點包括：
可去間斷點：左右極限存在且相等，但不等於該點的值，或該點無定義；
跳躍間斷點：左右極限存在但不相等
2）只有有限個極值點

那麼$f_T(t)$在連續點處有

傅立葉級數的三角形式

$f_T\left(t\right)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(a_n\cos n{\omega }_{0}t+b_n\sin$

$a_n = \dfrac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f_T(t) \cos n \omega_0 tdt$其中$n = 0, 1, 2, \dots $

$b_n = \dfrac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f_T(t) \sin n \omega_0 tdt$其中$n = 0, 1, 2, \dots $

傅立葉級數的復指數形式

$f_T(t) = \sum\limits_{-\infty}^{+\infty} c_n e^{jn \omega_0 t}$
$c_n = \dfrac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f_T(t) e^{-jn \omega_0 t}dt$

2. 傅立葉變換

周期函式可以展開為傅立葉級數。從物理上將週期為T的函式可以由一系列$\omega_0 = \dfrac{2\pi}{T}$為間隔的離散頻率所形成的簡諧波合成。當T越來越大時，取得頻率間隔越來越小，當T變成無窮大時，周期函式就變成了非周期函式，此時傅立葉級數就轉變稱了傅立葉變換。

推導如下:

$f(t)=\lim\limits_{T \to +\infty}f_T(t)$
$=\lim\limits_{T \to +\infty} \sum\limits_{n=-\infty}^{n=+\infty} [ \dfrac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f_T(\tau) e^{-jn \omega_0 \tau} d \tau ] e^{jn \omega_0 t}$

在周期函式下時域訊號被分解為頻率$\omega_0 = \dfrac{2 \pi}{T}$的簡諧波，此時T區域無窮。

因此有越來越小的$\omega_0$記作$\Delta \omega$，而$n \omega_0$記作$\omega_n$, 並且$T=\dfrac{2 \pi}{\Delta \omega}$
於是有:

$f(t)=\dfrac{1}{2\pi} \lim\limits_{\Delta \omega \to 0} \sum\limits_{n=-\infty}^{n=+\infty} [ \int_{-\pi/\Delta \omega}^{\pi/\Delta \omega}f_T(\tau)e^{-j\omega_n \tau}d\tau . e^{j \omega_n t}] \Delta \omega$

$f(t)=\dfrac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{{+\infty}[\int\limits_{-\infty}}{+\infty} f(\tau) e^{-j\omega \tau}d\tau] e^{j\omega t}d\omega

因此得到定理如下（傅立葉變換）：
$F(\omega)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$
$f(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} F(\omega)e^{j\omega t}d \omega$

3. 單位衝擊函式

單位衝擊函式定義:
1）當$t \ne 0$時，$\xi(t)=0$
2）$\int_{-\infty}^{+\infty} \xi(t) dt = 1$

主要性質：
1 當實數域有界函式f(t)，在t=0點連續，則$\int_{-\infty}^{+\infty} \xi(t) f(t) dt = f(0)$
2 當實數域有界函式f(t)，在$t = t_0$點連續，則$\int_{-\infty}^{+\infty} \xi(t - t_0) f(t) dt = f(t_0)$
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