循序漸進，深入理解KMP演算法
KMP演算法是三位大牛：D.E.Knuth、J.H.Morris和V.R.Pratt同時發現的。其中第一位就是《計算機程式設計藝術》的作者！
KMP演算法要解決的問題就是在字串（也叫主串）中的模式（pattern）定位問題。說簡單點就是我們平時常說的關鍵字搜尋。模式串就是關鍵字（接下來稱它為P），如果它在一個主串（接下來稱為T）中出現，就返回它的具體位置，否則返回-1（常用手段）。
常規的暴力匹配演算法時間複雜度：O(m*n)，而KMP演算法目的是儘快解決字串匹配問題，時間複雜度為O(m+n)。
1、暴力匹配演算法（腦補一下就好，不用看的）
首先，對於這個問題有一個很單純的想法：從左到右一個個匹配，如果這個過程中有某個字元不匹配，就跳回去，將模式串向右移動一位。這有什麼難的？
我們可以這樣初始化：
之後我們只需要比較i指標指向的字元和j指標指向的字元是否一致。如果一致就都向後移動，如果不一致，如下圖：
A和E不相等，那就把i指標移回第1位（假設下標從0開始），j移動到模式串的第0位，然後又重新開始這個步驟：
程式碼：
public class Demo{ public static int bf(String ts,String ps) { char[] t = ts.toCharArray(); char[] p = ps.toCharArray(); int i = 0; // 主串的位置 int j = 0; // 模式串的位置 while (i < t.length && j < p.length) { if (t[i] == p[j]) { // 當兩個字元相同，就比較下一個 i++; j++; }else { i = i - j + 1; // 一旦不匹配，i後退 j = 0; // j歸0 } } if (j == p.length) { return i - j; }else { return -1; } } }
2、KMP演算法（重點）
演算法的改進之處在於：每當一趟匹配過程中出現字元比較不相等時，指向主串的指標 i 不倒退，而是利用已經得到的“部分匹配”的結果，將模式串向右滑動儘可能遠的一段距離後，繼續比較。
例如：主串S："acacbacbabca"，模式串P："acbab"
只進行了三趟比較，就匹配上了，是不是很厲害。我們可以注意到整個過程 i 是不往回走的，所以時間複雜度為O(n+m)。
使用這個演算法，需要解決兩個問題：
- 比較不成功時，模式串T向右滑動多少距離
- 滑動之後，模式串T的工作指標 j 的值
為了解決這兩個問題，我們需要引入一個數組PMT
我先解釋一下字串的字首和字尾。如果字串A和B，存在A=BS，其中S是任意的非空字串，那就稱B為A的字首。例如，”Harry”的字首包括{”H”, ”Ha”, ”Har”, ”Harr”}，我們把所有字首組成的集合，稱為字串的字首集合。同樣可以定義字尾A=SB， 其中S是任意的非空字串，那就稱B為A的字尾，例如，”Potter”的字尾包括{”otter”, ”tter”, ”ter”, ”er”, ”r”}，然後把所有後綴組成的集合，稱為字串的字尾集合。要注意的是，字串本身並不是自己的字尾。
有了這個定義，就可以說明PMT中的值的意義了。PMT中的值是字串的字首集合與字尾集合的交集中最長元素的長度。例如，對於”aba”，它的字首集合為{”a”, ”ab”}，字尾 集合為{”ba”, ”a”}。兩個集合的交集為{”a”}，那麼長度最長的元素就是字串”a”了，長 度為1，所以對於”aba”而言，它在PMT表中對應的值就是1。再比如，對於字串”ababa”，它的字首集合為{”a”, ”ab”, ”aba”, ”abab”}，它的字尾集合為{”baba”, ”aba”, ”ba”, ”a”}， 兩個集合的交集為{”a”, ”aba”}，其中最長的元素為”aba”，長度為3。
例如index=4時，考察字串”ababa”的最大相等k字首和k字尾，最大值為3：
| 字首串 |
字尾串 |
| a |
a |
| ab |
ba |
| aba |
aba |
| abab |
baba |
但是一般在程式設計中不用PMT，而是用next陣列計算。
為了程式設計的方便， 我們不直接使用PMT陣列，而是將PMT陣列向後偏移一位。我們把新得到的這個陣列稱為next陣列。下面給出根據next陣列進行字串匹配加速的字串匹配程式。其中要注意的一個技巧是，在把PMT進行向右偏移時，第0位的值，我們將其設成了-1，這只是為了程式設計的方便，並沒有其他的意義。
則next[j]表示： 前j-1位，字串的字首集合與字尾集合的交集中最長元素的長度。
我們來通過例子，觀察next陣列是如何解決，之前的兩個問題的：
- 比較不成功時，模式串T向右滑動多少距離
- 滑動之後，模式串T的工作指標 j 的值
當發生不相等的情況時( S[i] != T[j] )：此時next[6]=4，這個時候讓 S[6]要和T[4]比較（j = next[j]）：
KMP程式碼：
//返回第一個匹配上的起始位置
public static int KMP(String text, String pattern) {
int i = 0,j = 0;
while(i<text.length() && j<pattern.length()) {
if(j==-1 || text.charAt(i)==pattern.charAt(j)) {//匹配上了就繼續往下匹配
++i;
++j;
}else
j = next[j];//發生不相等的情況
}
if(j>=pattern.length())return i-pattern.length();//return i-j;
return -1;
}
那麼next陣列如何計算呢？我們可以將它看成是兩個相同串的匹配，初始位置差1位
next[j]表示： 前j-1位，字串的字首集合與字尾集合的交集中最長元素的長度。
next[2]算的是第0,1位，字首集合與字尾集合的交集中最長元素的長度。
next陣列計算程式碼，和KMP程式碼很像：
public static void getNext(String p, int []next)
{
next[0] = -1;
int i = 0, j = -1;
while (i < p.length())
{
if (j == -1 || p.charAt(i) == p.charAt(j))
{
++i;
++j;
next[i] = j;
}
else
j = next[j];
}
}彙總兩部分的程式碼：
public class KMP {
public static void getNext(String p, int []next)
{
next[0] = -1;
int i = 0, j = -1;
while (i < p.length())
{
if (j == -1 || p.charAt(i) == p.charAt(j))
{
++i;
++j;
next[i] = j;
}
else
j = next[j];
}
}
//返回第一個匹配上的起始位置
public static int KMP(String text, String pattern , int next[]) {
int i = 0,j = 0;
while(i<text.length() && j<pattern.length()) {
if(j==-1 || text.charAt(i)==pattern.charAt(j)) {
++i;
++j;
}else
j = next[j];
}
if(j>=pattern.length())return i-pattern.length();//return i-j;
return -1;
}
public static void print(int []a) {
for(int i = 0 ; i < a.length ; i++) {
System.out.print(a[i]+" ");
}
}
public static void main(String[] args) {
String s = "abcabcabdabba";
String t = "abcabd";
int a[] = new int[s.length()+1];
getNext(s , a);
int index = KMP(s,t,a);//返回第一個匹配的位置
System.out.print(index);
}
}
參考資料：