好好打下字串演算法基礎。本篇通俗、透徹地解釋線性時間複雜度的字串匹配演算法：KMP演算法。
之前寫過KMP演算法，但時間久了回顧起來還是要花點兒時間，覺得需要進一步加深；現在就試圖徹底吃透它。若是感興趣豆友們能得到一點點的幫助就更好了~ 別忘了點個贊:-)

KMP 演算法的歷史就不說了，感興趣的去Google 下就有，大名鼎鼎的高德納(Knuth)大神是發明人之一。初次接觸KMP 演算法時往往會被它的線性時間複雜度所征服，如此經典的演算法值得學習。

後面的描述中，S 表示原字串，T 表示目標串（模式串），我們要在S 中搜索T。
令 S[0..m-1] = abcabcabdabba, T[0..n-1] = abcabd,

1，Naive 演算法
字串匹配的naive 演算法時O(n^2) 的：



2，Naive 演算法的問題與進化
naive 演算法的最大問題是，當一輪匹配過後，模式串T 又從頭開始，實際上這回造成很多不必要的比較。我們看下面的情況：



此時，匹配失敗，本輪結束；但實際上，並不需要從頭開始，匹配在S[5] 和 T[5] 處失敗，此時可以直接將S[5] 和 T[2] 對齊，從這裡開始匹配即可。

進一步，之所以可以這樣做，是由於T 的子串T[0..4] 已經與S 的子串S[0..4] 匹配成功，且"ab" 即是T[0..4] 的字尾又是它的字首，我們直接將T[2] 移到S[5] 的位置開始下一步匹配，不會造成任何遺漏。

3，KMP 演算法思想
首先回到naive 匹配演算法，我們之所以每輪過後，都非常“保守”地回溯到T[0] 和S[i+1] 的位置開始下一輪匹配，是為了避免有任何遺漏。而造成遺漏的原因是T 的子串可能存在這樣的情況：它的字首和字尾相等。我們姑且將這樣的前/字尾稱為“前-字尾”，注意這裡這考慮“真”字首/字尾。即對於某個子串，它本身不是我們關心的字首/字尾。
例如，對於上面的T = abcabd，子串T[0..3] 的前-字尾是"a"，子串T[0..4] 的前-字尾是"ab"，T[0..5] 的前-字尾是空串""（或者說它沒有前-字尾）。
如果一個子串有多個前-字尾，我們只考慮最長的那一個。例如，"aaaaa"的最長前-字尾是"aaaa"（它本身"aaaaa"不是真前/字尾）。

有了最長前-字尾的概念，我們可以開始分析KMP 演算法的原理。
前面提到的例子中，當S[5] 與 T[5] 匹配失敗時，我們直接將S[5] 和T[2] 對齊，正是由於T[0..4] 的最長前-字尾是"ab"，它在T[0..4]中對應的字首是T[0..1]；既然T[0..4] 與S[0..4] 匹配成功，那麼T[0..1] 必然可以與S[3..4] 完全匹配。
由此，我們很容易聯想到，當S[i] 與T[j] (j>0) 匹配失敗時，如果我們知道T[0..j-1] 的最長前-字尾在T[0..j-1]對應的字首（比如是T[0..k]），那麼我們可以直接將S[i] 與T[k+1] 對齊，開始下一次比較。原因就是T[0..k] 必然已經與S[0..i-1] 的字尾匹配成功。
這就是KMP 演算法的關鍵思路：避免了不必要的回溯。

4，KMP 演算法實現
KMP 演算法的關鍵在於，對於模式串T，我們需要知道它的每個子串T[0..j] (j<n) 的最長前-字尾。通常採用的資料結構是，用一個標記陣列NEXT[0..n-1]，NEXT[j] 記錄了T[0..j] 的最長前-字尾對應的字首的下一個位置。例如，如果NEXT[j] = 2，則表示T[0..j] 的最長前-字尾是T[0..1]。
顯然，當匹配在S[i], T[j] 處失敗是，只需將T[NEXT[j-1］ 與 S[i] 對齊，開始下一次比較。（注意：j 的位置需要改變，實際上可以先調整j = NEXT[j-1]，在繼續比較S[i],T[j] 即可；另外需注意邊界情況的處理）。

至此，我們應該理解了KMP 演算法原理。
已知S[0..m-1], T[0..n-1], 標記資料NEXT[0..n-1]；（關於如何獲得NEXT[0..n-1] 在後面闡述）

KMP 匹配演算法：

注意邊界情況的處理：
當j == n 時，說明已經找到一個完全匹配，輸出結果；
當j == 0 時匹配失敗，直接從S[i+1] 處開始匹配；
否則，通過NEXT 陣列獲得T中新的匹配位置j = NEXT[j-1]；
需要注意的一點是，在j==n （匹配成功）時，下一次需要匹配的位置也儲存在NEXT[j-1] （即NEXT[n-1]）中，無須特殊處理，這也是該演算法的一個優美之處 :-)

這段程式碼的複雜度分析：i++ 最多執行m 次；i++ 沒被執行時，一定有“j=NEXT[j-1]” 被執行，每次j 至少減小1，且不會小於0；而j++ “累計” 執行一定不會比 i++ 多（即不可能超過m 次），因此j 累計減少也不會超過m 次（即j=NEXT[j-1] 執行不會超過m 次）。
綜上，上面程式碼複雜度是 O(m)。

5，標記資料NEXT[0..n-1]
還有一個問題沒有回答：如何獲得NEXT[0..n-1]。

實際上，NEXT 陣列記錄的是T 的子串T[0..j] (0<j<n) 的最長前-字尾的資訊。
用傳統暴力的字串方法求NEXT陣列顯然很低效。這裡也是KMP 演算法最巧妙的地方之一：用KMP 匹配的方法求解NEXT 陣列。
沒錯，預處理工作中，NEXT[0..n-1] 正式通過KMP 匹配方法求出的。相當於在模式串T 自身上使用KMP匹配。
方法是用兩個陣列下標i 和j 來掃描T。i 將T 看做是KMP 匹配中的S，j 依然將T 看做模式串。與KMP 匹配不同的是，每次i 增加前，需要賦予NEXT[i] 合適的值。此時，T[0..j] 已經與T[0..i] 的字尾相等，即T[0..i] 的前-字尾正是T[0..j]，因此NEXT[i] = j+1。
匹配失敗或者遇到邊界情況時，處理思路與一般的KMP 匹配類似。

求NEXT[0..n-1] 的程式碼：

根據前面對KMP 演算法匹配過程的分析，求NEXT[0..n-1] 的複雜度顯然是O(n)。
因此，整個KMP 演算法的時間複雜度是：O(m+n)。