KMP演算法next陣列計算的理解——菜鳥福音
我的文章莫名找不到了。。。還是再寫一遍吧，希望對了解KMP的演算法有點幫助……
首先寫幾點
1）本文討論的KMP主要是嚴蔚敏的《資料結構》中第四章提到的KMP，即帶NEXT[]輔助陣列的KMP演算法
2）本文主要是討論KMP演算法NEXT[]陣列的計算的理解，一些數學上不嚴謹的地方還請見諒
3）本文主要針對演算法及資料結構的新手，希望能幫助大家快速理解KMP
KMP演算法在網路到處都是討論，在這裡假設我們都知道KMP演算法的基本原理，以及NEXT[]陣列的定義。
於是有
<定義1>
對於一個模式串P[]，有相應的NEXT[]。對於每個P[K+1]有NEXT[K+1]=X，此時
‘P[1]P[2]..P[X-1]’ = ‘…P[K]’
因為，NEXT的意義在於使得模式串P[]與目標串T[]匹配到P[K-1]與T[J-1]都成功時，在P[K]!=T[J]的情況下，模式串需要移動後與目標串比較的位置。
以及
<結論1>
對於任意一個模式串P[]及其NEXT[]，必然有
NEXT[1]=0;NEXT[2]=1
因為，第一個字元不匹配，只能將模式串右移，而第二個字元不匹配，只能比較第一個字元。
所以，現在根據以上得出的定義和結論，結合這樣一個假設
<假設>
對於某個模式串P[]及其NEXT[]，已知某個字元P[K]及其前面所有的NEXT[]對應的值。
基於結論1，顯然成立。不妨設此時P[K]=Y；
現在，我們在上述假設下，求NEXT[K+1]=X，X為未知量。
那麼根據<定義1>，顯然有
‘P[1]P[2]..P[X-1]’ = ‘…P[K]’
同時因為P[K]=Y，所以有
‘P[1]P[2]..P[Y-1]’ = ‘…P[K-1]’
實際上，由KMP的NEXT[]本身有“滿足最大前後綴匹配”的原則（這個地方在理解上可以忽略，數學上也是可以證明的，本文就不證明了……），因此，
如果，P[Y]=P[NEXT[K]]=P[K]，那麼有
‘P[1]P[2]..P[Y-1]P[Y]’ = ‘…P[K-1]P[K]’
而上面已經提到
‘P[1]P[2]..P[X-1]’ = ‘…P[K]’
由“滿足最大前後綴匹配”
X-1=Y。
即當P[NEXT[K]]=P[K]時，NEXT[K+1]=NEXT[K]+1。
如果，P[Y]!=P[K]，那麼，設NEXT[Y]=Y2，(顯然Y2 < Y)，因為<性質1>
‘P[1]P[2]..P[Y2-1]’ = ‘…P[K-1]’
以及KMP的性質，則回到迭代求解的過程中。
由此就可以理解KMP演算法中NEXT的求解了，希望能幫到更多人。
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