在之前學習線性代數的時候，我們總是說矩陣乘以向量就是對其進行了線性變換，而且我們可以很容易的計算出結果，但是我們並不知道其在形象的幾何角度有什麼意義。於是我們可以這樣來理解：

首先，向量可以有三種表示形式，帶有箭頭的有向線段，符號以及，下面我們將在這三種表示中來回轉換，並且以二維空間為例，來說明其中之奧祕。

一、向量在空間中的表示

任何一個空間都可以由一組基構成，言外之意，這個空間上的任何一個點（向量）都可以由這組基以線性組合的形式得到。比如，X-Y平面，其實就是一組基張成的空間，而我們所說的向量其實就是線性組合。

二、矩陣乘以向量與線性變換的意義

矩陣乘的意義，其實就是將一個向量，經過某個函式（矩陣）之後，輸出成為另外一個向量。或者說，變換就是意味著，將原來的向量運動（變換）到另一個地方。而線性變換，也就是在變換的基礎上，再加一個條件，線性的，也就是原來的一條直線，在變換了之後還應該是直線。

下面我們來理解什麼是線性變換。為了避免混淆，我們不用XY的xy基底，而是選用一組新的基底來描述原空間的基。

假設我們有原向量, 而我們想要把向量經過矩陣A變換成另外一個向量。假設我們的變換矩陣（逆時針旋轉90度），我們來看，按照之前計算的結果是，先記錄下這個結果。

我們再來看另外一種解釋：矩陣A對向量的變換，其實是施加在其基底上的變換，而新的向量關於新的基底的線性組合,與原來的向量關於原來的基底的線性組合，是一樣的。看解釋：

左圖中，，線性變換的係數為（1,1）。經過線性變換A之後變成新的基底。而新的向量,其關於基底的係數也是（1,1）。並且最後的計算結果是不是和上面我們之前計算的一樣？

所以我們說，一個向量，在經過一個矩陣A的變換之後，改變的是組成向量的基，而這個向量關於基的線性組合方式是沒有變化的。

換句話說，對於一個線性變換，我們只需要跟蹤其基在變換前後的變化，便可以掌握整個空間的變化。而矩陣A的列其實與變換後新的基底之間有著某些聯絡，也就是說，新的基底其實就是矩陣A的列向量的線性組合：，其中是A的列。說到這裡，也就是說，其實矩陣A的列空間，在某種意義上就代表了變換後的新的空間。（關於矩陣的列空間、特徵向量會在後面的部落格中說明）。

三、非列滿秩矩陣

如果說有一個變換（矩陣A），其列是相關的（如）,那麼也就代表，經過這個矩陣變換後的新的空間的兩個基底是在一條直線上，那麼新的空間就不是一個平面，而是一條直線了。說到這裡，對矩陣的秩和其空間的維度之間是不是也聯絡起來了，以及線性相關線性無關。

四、矩陣相乘

通過上面的解釋，我們已經知道，原來矩陣其實就對應著某種變換，是矩陣對於向量的變換，而涵蓋所有向量的幾何就叫空間，所以一個矩陣就對應著一個空間變換的概念。但這是矩陣乘以向量代表的是對向量的變換，那麼矩陣相乘呢？

矩陣相乘其實就意味著對向量（空間）進行兩次變換的疊加效果。並且先變換A後變換B和先變換B後變換A是不一樣的，因此AB和BA不相等。