1. 題目

2. 解答

以 \(1, 2, \cdots, n\) 構建二叉搜索樹，其中，任意數字都可以作為根節點來構建二叉搜索樹。當我們將某一個數字作為根節點後，其左邊數據將構建為左子樹，右邊數據將構建為右子樹。因此，這是一個遞歸問題。

若以第 \(i\) 個數據為根節點，其左邊數據有 \(i-1\) 個，左子樹可能情況為 left_num，右邊數據有 \(n-i\) 個，右子樹可能情況為 right_num，因此以當前數據為根節點可以構建出 left_num * right_num 個二叉搜索樹。

所以，我們要做的就是遍歷 \(i = 1\cdots n\)，統計出每個數據作為根節點可以構建出的二叉搜索樹總個數即可。

• 遞歸法

class Solution {
public:
        
       int numTrees(int n) {

        int sum = 0;

        if (n <= 1) return 1;

        // 以當前的數為根節點，左右兩邊的數分別構建子樹
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            int left_num = numTrees(i - 1); // 左邊的數可以構建多少個二叉搜索樹

            int right_num = numTrees(n - i); // 右邊的數可以構建多少個二叉搜索樹

            sum += left_num * right_num;
        }

        return sum;
    }
};
 

但是上面的程序運行時超時了，其實我們只需要統計一半數據就可以了，因為兩邊是對稱的。

比如我們有 1,2,3,4,5 五個數，以 2 作為根節點，左邊有 1 個數，右邊有 3 個數。以 4 作為根節點，左邊有 3 個數，右邊有 1 個數。這兩種情況是一樣的，因此如果數據個數為偶數，我們只需要統計一半數據即可，而為奇數的話我們就要再多統計一個中間數據。

class Solution {
public:
    
    int numTrees(int n) {
        
        int sum = 0;
          
        if (n <= 1) return 1;
        
        int is_odd = n % 2;
        int mid = n / 2;
        
        // 以當前的數為根節點，左右兩邊的數分別構建子樹
        for (int i = 1; i <= mid; i++)
        {
            int left_num = numTrees(i - 1); // 左邊的數可以構建多少個二叉搜索樹
            
            int right_num = numTrees(n - i); // 右邊的數可以構建多少個二叉搜索樹
            
            sum += left_num * right_num;
        }
        
        sum = sum * 2;
        
        if (is_odd) sum = sum + numTrees(mid) * numTrees(n - mid - 1);
            
        return sum;
    }
};
 

此外，我們還可以定義一個全局變量，來存放已經計算過的數值，避免在遞歸過程中大量地重復計算。

class Solution {
public:
    
    #define MAX 1000
    
    int nums[MAX]; // 存放已經計算過的數值

    int numTrees(int n) {

        int sum = 0;

        //if (n <= 0) return 1;
        if (n <= 1) return 1;

        // 以當前的數為根節點，左右兩邊的數分別構建子樹
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            if (nums[i-1] == 0) nums[i-1] = numTrees(i - 1); // 左邊的數可以構建多少個二叉搜索樹
            int left_num = nums[i-1];

            if (nums[n-i] == 0) nums[n-i] = numTrees(n - i); // 右邊的數可以構建多少個二叉搜索樹
            int right_num = nums[n-i]; 

            sum += left_num * right_num;
        }

        return sum;
    }
};

• 叠代法
  還可以將遞歸改寫為循環，避免函數多次調用執行效率較低。

class Solution {
public:
    
    int numTrees(int n) {

        int nums[n+1] = {0};

        nums[0] = 1;
        nums[1] = 1;
       
        if (n <= 1) return 1;
        
        for (int i = 2; i <= n; i++)
        {
            // 從 n=2 開始統計可以構建多少個不同的二叉搜索樹
            for (int j = 1; j <= i; j++)
            {
                nums[i] += nums[j-1] * nums[i-j];
            }
        }

        return nums[n];
    }
};      

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LeetCode 96——不同的二叉搜索樹