1、舉例說明：計算機專業排課

說明：學C1，C2是不需要提前學別的課程的，學C3則需要提前學C1，C2。

把課程列表轉換為圖，其中頂點代表課程，則從V到W有一條邊代表：V是W的預修課程

2、拓撲排序

• 拓撲序：如果圖中從V到W有一條有向路徑，則V一定排在W之前。滿足此條件的頂點序列稱為一個拓撲序
• 獲得一個拓撲序的過程就是拓撲排序
• AOV如果有合理的拓撲序，則必定是有向無環圖（Directed Acyclic Graph, DAG）
  

3、演算法

void TopSort()
{
	for (cnt = 0; cnt <
 
 |V| ; cnt++)
	{
		V = 未輸出的入度為0的頂點;// O(|V|)
		if (這樣的V不存在)//外迴圈沒結束已經找不到入度為0的頂點了，有環
		{
			Error(“圖中有迴路”);
			break;
		}
		輸出V，或者記錄V的輸出序號;
		for (V 的每個鄰接點W)
			Indegree[W]––;//相當於去掉從V到W的邊
	}
}

在TopSort函式中，如果外迴圈還沒結束，就已經找不到“未輸出的入度為0的頂點”，則說明圖中必定存在迴路。

時間複雜度：T = O( |V|² )

4、聰明的演算法

隨時將入度變為0的頂點放到一個容器裡

void
 
 TopSort()
{
	for (圖中每個頂點V)
		if (Indegree[V] == 0)
			Enqueue(V, Q);
	while (!IsEmpty(Q))
	{
		V = Dequeue(Q);
		輸出V，或者記錄V的輸出序號; cnt++;//計數器增加
		for (V 的每個鄰接點W)//將V放入容器，V發出的邊斷開，V的鄰接點入度減1
			if (––Indegree[W] == 0)
				Enqueue(W, Q);
	}
	if (cnt != |V| )
		Error(“圖中有迴路”);
}

隨時將入度為0的節點放入容器中，每次從容器中取出元素，保證都是入度為0。

時間複雜度：每個點被訪問一遍，每條邊訪問一遍
T = O( |V| + |E| )

此演算法可以用來檢測有向圖是否DAG（有向無環圖Directed Acyclic Graph）

5、關鍵路徑問題

• AOE (Activity On Edge) 網路
  一般用於安排專案的工序
  
  每條邊代表一個工序或者一個活動
  邊表示活動，頂點表示到達這個頂點時，活動結束了。

頂點的上面部分表示這項工作最早在什麼時間完成，下面的表示這項工作最晚什麼時間開始。


機動時間：不用那麼趕工期，以頂點0到頂點2為例，最早第0天開始工作，最晚第六天完成，而完成這項工作只需要4天時間，就有2天的機動時間。
關鍵路徑：由絕對不允許延誤的活動組成的路徑