題目

現有村落間道路的統計資料表中，列出了有可能建設成標準公路的若干條道路的成本，求使每個村落都有公路連通所需要的最低成本。

輸入格式:
輸入資料包括城鎮數目正整數N（≤1000）和候選道路數目M（≤3N）；隨後的M行對應M條道路，每行給出3個正整數，分別是該條道路直接連通的兩個城鎮的編號以及該道路改建的預算成本。為簡單起見，城鎮從1到N編號。

輸出格式:
輸出村村通需要的最低成本。如果輸入資料不足以保證暢通，則輸出−1，表示需要建設更多公路。

輸入樣例:

6 15
1 2 5
1 3 3
1 4 7
1 5 4
1 6 2
2 3 4
2 4 6
2 5 2
2 6 6
3 4 6
3 5 1
3 6 1
4 5 10
4 6 8
5 6 3

輸出樣例:

12

分析

1. Kruskal 演算法

#include<iostream>
#include<queue>
#include<vector> 
#define MaxVertex 1005
typedef int Vertex;
using namespace std;
int N;  // 頂點 
int M;  // 邊 
int parent[MaxVertex];   // 並查集
struct Node{
	Vertex v1;
	Vertex v2;
	int weight;
	// 過載運算子 
	bool
 
 operator < (const Node &a) const
	{
		return weight>a.weight;
	}
}; 
priority_queue<Node> q;  // 最小堆 
vector<Node> MST; // 最小生成樹 
int sum;

// 初始化圖資訊 
void build(){
	Vertex v1,v2;
	int w;
	cin>>N>>M;
	for(int i=1;i<=N;i++){ 
		parent[i] = -1;
	} 
	// 初始化點
	for(int i=0;i<
 
M;i++){
		cin>>v1>>v2>>w;
		struct Node tmpE;
		tmpE.v1 = v1;
		tmpE.v2 = v2;
		tmpE.weight = w;
		q.push(tmpE); 
	}
	sum = 0;
}


//  路徑壓縮查詢 
int Find(int x){
	if(parent[x] < 0)
		return x;
	else
		return parent[x] = Find(parent[x]);
} 

//  按秩歸併 
void Union(int x1,int x2){
	x1 = Find(x1);
	x2 = Find(x2);
	if(parent[x1] < parent[x2]){
		parent[x1] += parent[x2];
		parent[x2] = x1;
	}else{
		parent[x2] += parent[x1];
		parent[x1] = x2;
	}
} 

void Kruskal(){
	while(MST.size()!=M-1 && !q.empty()){
		Node E = q.top();    // 最小堆，出隊權重最小的 
		q.pop();   
		if(Find(E.v1) != Find(E.v2)){ // 判斷是否屬於同一集合 
			sum += E.weight;
			Union(E.v1,E.v2);    // 並 
			MST.push_back(E);
		}
	}
}


int main(){
	build();
	Kruskal();
	// 圖連通 
	if(MST.size()==N-1)
		cout<<sum;
	else 
		cout<<-1;
	return 0;
} 

2. Prim 演算法

#include<iostream>
#include<vector>
#define INF 100000
#define MaxVertex 1005
typedef int Vertex; 
int G[MaxVertex][MaxVertex];
int parent[MaxVertex];   // 並查集 
int dist[MaxVertex]; // 距離 
int Nv;    // 結點 
int Ne;    // 邊 
int sum;  // 權重和 
using namespace std; 
vector<Vertex> MST;  // 最小生成樹 

// 初始化圖資訊 
void build(){
	Vertex v1,v2;
	int w;
	cin>>Nv>>Ne;
	for(int i=1;i<=Nv;i++){
		for(int j=1;j<=Nv;j++)
			G[i][j] = 0;  // 初始化圖 
		dist[i] = INF;   // 初始化距離
		parent[i] = -1;  // 初始化並查集 
	}
	// 初始化點
	for(int i=0;i<Ne;i++){
		cin>>v1>>v2>>w;
		G[v1][v2] = w;
		G[v2][v1] = w;
	}
}

// Prim演算法前的初始化 
void IniPrim(Vertex s){
	dist[s] = 0;
	MST.push_back(s);
	for(Vertex i =1;i<=Nv;i++)
		if(G[s][i]){
			dist[i] = G[s][i];
			parent[i] = s;
		} 
}

// 查詢未收錄中dist最小的點 
Vertex FindMin(){
	int min = INF;
	Vertex xb = -1;
	for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)
		if(dist[i] && dist[i] < min){ 
			min = dist[i];
			xb = i;
		}
	return xb;
}

void Prim(Vertex s){
	IniPrim(s);
	while(1){
		Vertex v = FindMin();
		if(v == -1)
			break;
		sum += dist[v];
		dist[v] = 0;
		MST.push_back(v);
		for(Vertex w=1;w<=Nv;w++)
			if(G[v][w] && dist[w])
				if(G[v][w] < dist[w]){
					dist[w] = G[v][w];
					parent[w] = v;
				}
	}
}


int main(){
	build();
	Prim(1);
	if(MST.size()==Nv)
		cout<<sum;
	else
		cout<<-1;
	return 0;
}