ml課程：SVM相關（含程式碼實現）

阿新 • • 發佈：2018-11-25

以下是我的學習筆記，以及總結，如有錯誤之處請不吝賜教。

本文主要介紹svm的創始人Vapnik‘s如何一步一步構建出這個經典演算法模型的，同時也可以給我們以後演算法之路提供一個思路，即使你對優化等數學方法不熟悉，依然可以創造出很好的演算法。

下svm關鍵的幾個idea：

KEY IDEA 1:支援向量機最關鍵的一個假設是我們在分類過程中，最重要的是找到一個決策邊界，而且我們希望這個決策邊界泛化能力是最好的，而svm則是找到一條widest street way，這條街是由支援向量所構成的。我們假設支援向量所在點與原點構成的向量為 $\vec{u}$ ，與決策邊界垂直的方向法向量為 $\vec{w}$ ，支援向量到決策邊界的距離表示為b，那麼我們就用這三個值表示出他們的關係：

$\vec{w}\cdot \vec{u_{x}}+b\geq 0$

KEY IDEA 2:我們假設這條street的寬度為1，那麼僅針對訓練集有：

$\left\{\begin{matrix}\vec{w}\cdot \vec{u_{x}}+b\geqslant 1 \\ \vec{w}\cdot \vec{u_{x}}+b\leqslant-1 \end{matrix}\right.$ ，假設 $y_{i}=\left\{\begin{matrix} +1\\ -1 \end{matrix}\right.$ ，那麼我們將兩式相乘合併為一個公式，就可以得到第二個關鍵公式：

$y_{i}(\vec{w}\cdot \vec{x}_{traing}+b)-1\geqslant 0$

其中：取值為0的即為支援向量 $\vec{x}$ 。

KEY IDEA 3:那麼我們如何使得這條street越寬越好呢?這條街的寬度可以表示為： $width=(\vec{x_{+}}-\vec{x_{-}})\cdot \frac{\vec{w}}{||\vec{w}||}$ ,分別將 $y_{i}$ 代入，可以得到： $\vec{x_{+}}\cdot \vec{w}=1-b$ ， $\vec{x_{-}}\cdot \vec{w}=-(1+b)$ ，得到：

$width=\frac{2}{||\vec{w}||}$

因此我們只需要求得 $max(width)$ ,即 $max\frac{2}{||\vec{w}||}$ ，即:

$min\frac{1}{2}||\vec{w}||^{2}$

s.t. $y_{i}(\vec{w}\cdot \vec{x}_{i}+b)-1= 0$

KEY IDEA 4:將其代入拉格朗日多項式得到：

$\L =\frac{1}{2}||\vec{w}||^{2}-\sum \alpha _{i}[y_{i}(\vec{w}\cdot \vec{x}_{i}+b)-1]$

分別對 $\vec{w}$ 和b求導得到：

$\partial L/\partial \vec{w} = \vec{w}-\sum \alpha _{i}y_{i}x_{i}$

$\partial L/\partial b = -\sum \alpha _{i}y_{i}$

分別令其等於0，求得：

$\vec{w}=\sum \alpha _{i}y_{i}x_{i}$ ， $\sum \alpha _{i}y_{i}=0$

代入原式：

$\L =\sum \alpha _{i}-\frac{1}{2}\sum \sum \alpha _{i}\alpha _{j}y_{i}y_{j}\vec{x}_{i}\vec{x}_{j}$

SVM另一種理解：假設一個函式叫做合頁損失函式（hinge loss）：

合頁損失的函式影象如下所示：

SMO演算法（sequential minimal optimization）：

首先介紹座標上升法：這個方法的思想是固定其他引數變數，先求其中一個變數的最大值。

SMO演算法則是在座標上升法之上改進一下，每次選擇兩個變數進行優化（兩個變數其實等價於一個變數）：

演算法流程：（具體流程參考李航的《統計學習方法》P126-130頁）

核心程式碼：

def smoSimple(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter):
    dataMatrix = mat(dataMatIn); labelMat = mat(classLabels).transpose()
    b = 0; m,n = shape(dataMatrix)
    alphas = mat(zeros((m,1)))
    iter = 0
    while (iter < maxIter):
        alphaPairsChanged = 0
        for i in range(m):
            fXi = float(multiply(alphas,labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[i,:].T)) + b
            Ei = fXi - float(labelMat[i])#if checks if an example violates KKT conditions
            if ((labelMat[i]*Ei < -toler) and (alphas[i] < C)) or ((labelMat[i]*Ei > toler) and (alphas[i] > 0)):
                j = selectJrand(i,m)
                fXj = float(multiply(alphas,labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[j,:].T)) + b
                Ej = fXj - float(labelMat[j])
                alphaIold = alphas[i].copy(); alphaJold = alphas[j].copy();
                if (labelMat[i] != labelMat[j]):
                    L = max(0, alphas[j] - alphas[i])
                    H = min(C, C + alphas[j] - alphas[i])
                else:
                    L = max(0, alphas[j] + alphas[i] - C)
                    H = min(C, alphas[j] + alphas[i])
                if L==H: print("L==H"); continue
                eta = 2.0 * dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T - dataMatrix[i,:]*dataMatrix[i,:].T - dataMatrix[j,:]*dataMatrix[j,:].T
                if eta >= 0: print("eta>=0"); continue
                alphas[j] -= labelMat[j]*(Ei - Ej)/eta
                alphas[j] = clipAlpha(alphas[j],H,L)
                if (abs(alphas[j] - alphaJold) < 0.00001): print("j not moving enough"); continue
                alphas[i] += labelMat[j]*labelMat[i]*(alphaJold - alphas[j])#update i by the same amount as j
                                                                        #the update is in the oppostie direction
                b1 = b - Ei- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[i,:].T - labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T
                b2 = b - Ej- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T - labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[j,:]*dataMatrix[j,:].T
                if (0 < alphas[i]) and (C > alphas[i]): b = b1
                elif (0 < alphas[j]) and (C > alphas[j]): b = b2
                else: b = (b1 + b2)/2.0
                alphaPairsChanged += 1
                print("iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter,i,alphaPairsChanged))
        if (alphaPairsChanged == 0): iter += 1
        else: iter = 0
        print("iteration number: %d" % iter)
    return b,alphas

軟間隔分類器：當資料線性不可分時，即使對映到高維空間並不能保證線性可分，如下圖所示：