支援向量機SVM通俗理解（python程式碼實現）

阿新 • • 發佈：2019-01-03

這是第三次來“複習”SVM了，第一次是使用SVM包，呼叫包並嘗試調節引數。聽聞了“流弊”SVM的演算法。第二次學習理論，看了李航的《統計學習方法》以及網上的部落格。看完後感覺，滿滿的公式。。。記不住啊。第三次，也就是這次通過python程式碼手動來實現SVM，才讓我突然對SVM不有畏懼感。希望這裡我能通過簡單粗暴的文字，能讓讀者理解到底什麼是SVM，這貨的演算法思想是怎麼樣的。看之前千萬不要畏懼，說到底就是個演算法，每天啃一點，總能啃完它，慢慢來還可以加深印象。
SVM是用來解決分類問題的，如果解決兩個變數的分類問題，可以理解成用一條直線把點給分開，完成分類。如下：
這裡寫圖片描述
上面這些點很明顯不一樣，我們從中間畫一條直線就可以用來分割這些點，但是什麼樣的直線才是最好的呢？通俗的說，就是一條直線“最能”分割這些點，也就是上圖中的直線。他是最好的一條直線，使所有的點都“儘量”遠離中間那條直線。總得的來說，SVM就是為了找出一條分割的效果最好的直線。怎麼樣找出這條直線，就變成了一個數學問題，通過數學一步一步的推導，最後轉化成程式。這裡舉例是二個特徵的分類問題，如果有三個特徵，分類線就變成了分類平面，多個特徵的話就變成了超平面。從這個角度出發去看待SVM，會比較輕鬆。

數學解決方法大致如下：
目的是求最大分隔平面，也就是選取靠近平面最近的點，使這些點到分隔平面的距離W最大，是一個典型的凸二次規劃問題。
這裡寫圖片描述
但是上面需要求解兩個引數w和b；於是為求解這個問題，把二次規劃問題轉換為對偶問題

這樣就只需求一個引數a了，通過SMO演算法求出a後，再計算出b

最後通過f(x)用做預測。

python程式碼實現可以加深對那些數學推導公式的印象，看公式的時候，可能會想，這些推導好複雜，都有些什麼用啊，結果寫程式碼的時候會發現，原來最後都用在程式碼裡。所以寫程式碼可以加深對SVM的理解。
下面是SVM的python程式碼實現，我做了詳細的註釋，剛開始看程式碼也會覺得好長好複雜，慢慢看後發現，程式碼就是照著SVM的數學推導，把最後的公式推導轉化為程式碼和程式的邏輯，程式碼本身並不複雜。

from numpy import * 

def loadDataSet(filename): #讀取資料
    dataMat=[]
    labelMat=[]
    fr=open(filename)
    for line in fr.readlines():
        lineArr=line.strip().split('\t')
        dataMat.append([float(lineArr[0]),float(lineArr[1])])
        labelMat.append(float(lineArr[2]))
    return dataMat,labelMat #返回資料特徵和資料類別 


def selectJrand(i,m): #在0-m中隨機選擇一個不是i的整數
    j=i
    while (j==i):
        j=int(random.uniform(0,m))
    return j

def clipAlpha(aj,H,L):  #保證a在L和H範圍內（L <= a <= H）
    if aj>H:
        aj=H
    if L>aj:
        aj=L
    return aj

def kernelTrans(X, A, kTup): #核函式，輸入引數,X:支援向量的特徵樹；A：某一行特徵資料；kTup：('lin',k1)核函式的型別和引數
    m,n = shape(X)
    K = mat(zeros((m,1)))
    if kTup[0]=='lin': #線性函式
        K = X * A.T
    elif kTup[0]=='rbf': # 徑向基函式(radial bias function)
        for j in range(m):
            deltaRow = X[j,:] - A
            K[j] = deltaRow*deltaRow.T
        K = exp(K/(-1*kTup[1]**2)) #返回生成的結果
    else:
        raise NameError('Houston We Have a Problem -- That Kernel is not recognized')
    return K


#定義類，方便儲存資料
class optStruct:
    def __init__(self,dataMatIn, classLabels, C, toler, kTup):  # 儲存各類引數
        self.X = dataMatIn  #資料特徵
        self.labelMat = classLabels #資料類別
        self.C = C #軟間隔引數C，引數越大，非線性擬合能力越強
        self.tol = toler #停止閥值
        self.m = shape(dataMatIn)[0] #資料行數
        self.alphas = mat(zeros((self.m,1)))
        self.b = 0 #初始設為0
        self.eCache = mat(zeros((self.m,2))) #快取
        self.K = mat(zeros((self.m,self.m))) #核函式的計算結果
        for i in range(self.m):
            self.K[:,i] = kernelTrans(self.X, self.X[i,:], kTup)


def calcEk(oS, k): #計算Ek（參考《統計學習方法》p127公式7.105）
    fXk = float(multiply(oS.alphas,oS.labelMat).T*oS.K[:,k] + oS.b)
    Ek = fXk - float(oS.labelMat[k])
    return Ek

#隨機選取aj，並返回其E值
def selectJ(i, oS, Ei):
    maxK = -1
    maxDeltaE = 0
    Ej = 0
    oS.eCache[i] = [1,Ei]
    validEcacheList = nonzero(oS.eCache[:,0].A)[0]  #返回矩陣中的非零位置的行數
    if (len(validEcacheList)) > 1:
        for k in validEcacheList:
            if k == i:
                continue
            Ek = calcEk(oS, k)
            deltaE = abs(Ei - Ek)
            if (deltaE > maxDeltaE): #返回步長最大的aj
                maxK = k
                maxDeltaE = deltaE
                Ej = Ek
        return maxK, Ej
    else:
        j = selectJrand(i, oS.m)
        Ej = calcEk(oS, j)
    return j, Ej


def updateEk(oS, k): #更新os資料
    Ek = calcEk(oS, k)
    oS.eCache[k] = [1,Ek]

#首先檢驗ai是否滿足KKT條件，如果不滿足，隨機選擇aj進行優化，更新ai,aj,b值
def innerL(i, oS): #輸入引數i和所有引數資料
    Ei = calcEk(oS, i) #計算E值
    if ((oS.labelMat[i]*Ei < -oS.tol) and (oS.alphas[i] < oS.C)) or ((oS.labelMat[i]*Ei > oS.tol) and (oS.alphas[i] > 0)): #檢驗這行資料是否符合KKT條件 參考《統計學習方法》p128公式7.111-113
        j,Ej = selectJ(i, oS, Ei) #隨機選取aj，並返回其E值
        alphaIold = oS.alphas[i].copy()
        alphaJold = oS.alphas[j].copy()
        if (oS.labelMat[i] != oS.labelMat[j]): #以下程式碼的公式參考《統計學習方法》p126
            L = max(0, oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
            H = min(oS.C, oS.C + oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
        else:
            L = max(0, oS.alphas[j] + oS.alphas[i] - oS.C)
            H = min(oS.C, oS.alphas[j] + oS.alphas[i])
        if L==H:
            print("L==H")
            return 0
        eta = 2.0 * oS.K[i,j] - oS.K[i,i] - oS.K[j,j] #參考《統計學習方法》p127公式7.107
        if eta >= 0:
            print("eta>=0")
            return 0
        oS.alphas[j] -= oS.labelMat[j]*(Ei - Ej)/eta #參考《統計學習方法》p127公式7.106
        oS.alphas[j] = clipAlpha(oS.alphas[j],H,L) #參考《統計學習方法》p127公式7.108
        updateEk(oS, j)
        if (abs(oS.alphas[j] - alphaJold) < oS.tol): #alpha變化大小閥值（自己設定）
            print("j not moving enough")
            return 0
        oS.alphas[i] += oS.labelMat[j]*oS.labelMat[i]*(alphaJold - oS.alphas[j])#參考《統計學習方法》p127公式7.109
        updateEk(oS, i) #更新資料
        #以下求解b的過程，參考《統計學習方法》p129公式7.114-7.116
        b1 = oS.b - Ei- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,i] - oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[i,j]
        b2 = oS.b - Ej- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,j]- oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[j,j]
        if (0 < oS.alphas[i]<oS.C):
            oS.b = b1
        elif (0 < oS.alphas[j]<oS.C):
            oS.b = b2
        else:
            oS.b = (b1 + b2)/2.0
        return 1
    else:
        return 0


#SMO函式，用於快速求解出alpha
def smoP(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter,kTup=('lin', 0)): #輸入引數：資料特徵，資料類別，引數C，閥值toler，最大迭代次數，核函式（預設線性核）
    oS = optStruct(mat(dataMatIn),mat(classLabels).transpose(),C,toler, kTup)
    iter = 0
    entireSet = True
    alphaPairsChanged = 0
    while (iter < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or (entireSet)):
        alphaPairsChanged = 0
        if entireSet:
            for i in range(oS.m): #遍歷所有資料
                alphaPairsChanged += innerL(i,oS)
                print("fullSet, iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter,i,alphaPairsChanged)) #顯示第多少次迭代，那行特徵資料使alpha發生了改變，這次改變了多少次alpha
            iter += 1
        else:
            nonBoundIs = nonzero((oS.alphas.A > 0) * (oS.alphas.A < C))[0]
            for i in nonBoundIs: #遍歷非邊界的資料
                alphaPairsChanged += innerL(i,oS)
                print("non-bound, iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter,i,alphaPairsChanged))
            iter += 1
        if entireSet:
            entireSet = False
        elif (alphaPairsChanged == 0):
            entireSet = True
        print("iteration number: %d" % iter)
    return oS.b,oS.alphas

def testRbf(data_train,data_test):
    dataArr,labelArr = loadDataSet(data_train) #讀取訓練資料
    b,alphas = smoP(dataArr, labelArr, 200, 0.0001, 10000, ('rbf', 1.3)) #通過SMO演算法得到b和alpha
    datMat=mat(dataArr)
    labelMat = mat(labelArr).transpose()
    svInd=nonzero(alphas)[0]  #選取不為0資料的行數（也就是支援向量）
    sVs=datMat[svInd] #支援向量的特徵資料
    labelSV = labelMat[svInd] #支援向量的類別（1或-1）
    print("there are %d Support Vectors" % shape(sVs)[0]) #打印出共有多少的支援向量
    m,n = shape(datMat) #訓練資料的行列數
    errorCount = 0
    for i in range(m):
        kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf', 1.3)) #將支援向量轉化為核函式
        predict=kernelEval.T * multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b  #這一行的預測結果（程式碼來源於《統計學習方法》p133裡面最後用於預測的公式）注意最後確定的分離平面只有那些支援向量決定。
        if sign(predict)!=sign(labelArr[i]): #sign函式 -1 if x < 0, 0 if x==0, 1 if x > 0
            errorCount += 1
    print("the training error rate is: %f" % (float(errorCount)/m)) #打印出錯誤率
    dataArr_test,labelArr_test = loadDataSet(data_test) #讀取測試資料
    errorCount_test = 0
    datMat_test=mat(dataArr_test)
    labelMat = mat(labelArr_test).transpose()
    m,n = shape(datMat_test)
    for i in range(m): #在測試資料上檢驗錯誤率
        kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat_test[i,:],('rbf', 1.3))
        predict=kernelEval.T * multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b
        if sign(predict)!=sign(labelArr_test[i]):
            errorCount_test += 1
    print("the test error rate is: %f" % (float(errorCount_test)/m))

#主程式
def main():
    filename_traindata='C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\data\\traindata.txt'
    filename_testdata='C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\data\\testdata.txt'
    testRbf(filename_traindata,filename_testdata)

if __name__=='__main__':
    main()

樣例資料如下：
這裡寫圖片描述
訓練資料：train_data

-0.214824   0.662756    -1.000000
-0.061569   -0.091875   1.000000
0.406933    0.648055    -1.000000
0.223650    0.130142    1.000000
0.231317    0.766906    -1.000000
-0.748800   -0.531637   -1.000000
-0.557789   0.375797    -1.000000
0.207123    -0.019463   1.000000
0.286462    0.719470    -1.000000
0.195300    -0.179039   1.000000
-0.152696   -0.153030   1.000000
0.384471    0.653336    -1.000000
-0.117280   -0.153217   1.000000
-0.238076   0.000583    1.000000
-0.413576   0.145681    1.000000
0.490767    -0.680029   -1.000000
0.199894    -0.199381   1.000000
-0.356048   0.537960    -1.000000
-0.392868   -0.125261   1.000000
0.353588    -0.070617   1.000000
0.020984    0.925720    -1.000000
-0.475167   -0.346247   -1.000000
0.074952    0.042783    1.000000
0.394164    -0.058217   1.000000
0.663418    0.436525    -1.000000
0.402158    0.577744    -1.000000
-0.449349   -0.038074   1.000000
0.619080    -0.088188   -1.000000
0.268066    -0.071621   1.000000
-0.015165   0.359326    1.000000
0.539368    -0.374972   -1.000000
-0.319153   0.629673    -1.000000
0.694424    0.641180    -1.000000
0.079522    0.193198    1.000000
0.253289    -0.285861   1.000000
-0.035558   -0.010086   1.000000
-0.403483   0.474466    -1.000000
-0.034312   0.995685    -1.000000
-0.590657   0.438051    -1.000000
-0.098871   -0.023953   1.000000
-0.250001   0.141621    1.000000
-0.012998   0.525985    -1.000000
0.153738    0.491531    -1.000000
0.388215    -0.656567   -1.000000
0.049008    0.013499    1.000000
0.068286    0.392741    1.000000
0.747800    -0.066630   -1.000000
0.004621    -0.042932   1.000000
-0.701600   0.190983    -1.000000
0.055413    -0.024380   1.000000
0.035398    -0.333682   1.000000
0.211795    0.024689    1.000000
-0.045677   0.172907    1.000000
0.595222    0.209570    -1.000000
0.229465    0.250409    1.000000
-0.089293   0.068198    1.000000
0.384300    -0.176570   1.000000
0.834912    -0.110321   -1.000000
-0.307768   0.503038    -1.000000
-0.777063   -0.348066   -1.000000
0.017390    0.152441    1.000000
-0.293382   -0.139778   1.000000
-0.203272   0.286855    1.000000
0.957812    -0.152444   -1.000000
0.004609    -0.070617   1.000000
-0.755431   0.096711    -1.000000
-0.526487   0.547282    -1.000000
-0.246873   0.833713    -1.000000
0.185639    -0.066162   1.000000
0.851934    0.456603    -1.000000
-0.827912   0.117122    -1.000000
0.233512    -0.106274   1.000000
0.583671    -0.709033   -1.000000
-0.487023   0.625140    -1.000000
-0.448939   0.176725    1.000000
0.155907    -0.166371   1.000000
0.334204    0.381237    -1.000000
0.081536    -0.106212   1.000000
0.227222    0.527437    -1.000000
0.759290    0.330720    -1.000000
0.204177    -0.023516   1.000000
0.577939    0.403784    -1.000000
-0.568534   0.442948    -1.000000
-0.011520   0.021165    1.000000
0.875720    0.422476    -1.000000
0.297885    -0.632874   -1.000000
-0.015821   0.031226    1.000000
0.541359    -0.205969   -1.000000
-0.689946   -0.508674   -1.000000
-0.343049   0.841653    -1.000000
0.523902    -0.436156   -1.000000
0.249281    -0.711840   -1.000000
0.193449    0.574598    -1.000000
-0.257542   -0.753885   -1.000000
-0.021605   0.158080    1.000000
0.601559    -0.727041   -1.000000
-0.791603   0.095651    -1.000000
-0.908298   -0.053376   -1.000000
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參考：
《統計學習方法》
《Machine Learning in Action》

支援向量機SVM通俗理解（python程式碼實現）

支援向量機SVM通俗理解（python程式碼實現）

Python中的支援向量機SVM的使用（有例項）

支援向量機SVM(直觀理解原理、推導)

支援向量機SVM：使用sklearn+python

支援向量機SVM及Demo（轉載）

支援向量機SVM演算法應用【Python實現】

支撐向量機 SVM 學習筆記（Matlab程式碼）

模擬RSA雙向驗證，並且實現DES加密以及MD5校驗過程（python程式碼實現）

決策樹原理例項（python程式碼實現）

機器學習(四)：通俗理解支援向量機SVM及程式碼實踐

機器學習實戰（五）支援向量機SVM（Support Vector Machine）

吳恩達機器學習（第十三章）---支援向量機SVM

Python實現支援向量機(SVM) MNIST資料集

【支援向量機SVM】演算法原理公式推導 python程式設計實現

機器學習（三）——支援向量機SVM

機器學習筆記（八）-吳恩達視訊課程（支援向量機SVM）

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資料探勘十大演算法——支援向量機SVM（一）：線性支援向量機

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