1 簡介

支援向量機基本上是最好的有監督學習演算法了。最開始接觸SVM是去年暑假的時候，老師要求交《統計學習理論》的報告，那時去網上下了一份入門教程，裡面講的很通俗，當時只是大致瞭解了一些相關概念。這次斯坦福提供的學習材料，讓我重新學習了一些SVM知識。我看很多正統的講法都是從VC 維理論和結構風險最小原理出發，然後引出SVM什麼的，還有些資料上來就講分類超平面什麼的。這份材料從前幾節講的logistic迴歸出發，引出了SVM，既揭示了模型間的聯絡，也讓人覺得過渡更自然。

2 重新審視logistic迴歸

Logistic迴歸目的是從特徵學習出一個0/1分類模型，而這個模型是將特性的線性組合作為自變數，由於自變數的取值範圍是負無窮到正無窮。因此，使用logistic函式（或稱作sigmoid函式）將自變數對映到(0,1)上，對映後的值被認為是屬於y=1的概率。

形式化表示就是

假設函式

其中x是n維特徵向量，函式g就是logistic函式。

的影象是

可以看到，將無窮對映到了(0,1)。

而假設函式就是特徵屬於y=1的概率。

當我們要判別一個新來的特徵屬於哪個類時，只需求，若大於0.5就是y=1的類，反之屬於y=0類。

再審視一下，發現只和有關，>0，那麼，g(z)只不過是用來對映，真實的類別決定權還在。還有當時，=1，反之=0。如果我們只從出發，希望模型達到的目標無非就是讓訓練資料中y=1的特徵，而是y=0的特徵。Logistic迴歸就是要學習得到，使得正例的特徵遠大於0，負例的特徵遠小於0，強調在全部訓練例項上達到這個目標。

圖形化表示如下：

中間那條線是，logistic回顧強調所有點儘可能地遠離中間那條線。學習出的結果也就中間那條線。考慮上面3個點A、B和C。從圖中我們可以確定A是×類別的，然而C我們是不太確定的，B還算能夠確定。這樣我們可以得出結論，我們更應該關心靠近中間分割線的點，讓他們儘可能地遠離中間線，而不是在所有點上達到最優。因為那樣的話，要使得一部分點靠近中間線來換取另外一部分點更加遠離中間線。我想這就是支援向量機的思路和logistic迴歸的不同點，一個考慮區域性（不關心已經確定遠離的點），一個考慮全域性（已經遠離的點可能通過調整中間線使其能夠更加遠離）。這是我的個人直觀理解。

3 形式化表示

我們這次使用的結果標籤是y=-1,y=1，替換在logistic迴歸中使用的y=0和y=1。同時將替換成w和b。以前的，其中認為。現在我們替換為b，後面替換為（即）。這樣，我們讓，進一步。也就是說除了y由y=0變為y=-1，只是標記不同外，與logistic迴歸的形式化表示沒區別。再明確下假設函式

上一節提到過我們只需考慮的正負問題，而不用關心g(z)，因此我們這裡將g(z)做一個簡化，將其簡單對映到y=-1和y=1上。對映關係如下：

4 函式間隔（functional margin）和幾何間隔（geometric margin）

給定一個訓練樣本，x是特徵，y是結果標籤。i表示第i個樣本。我們定義函式間隔如下：

可想而知，當時，在我們的g(z)定義中，，的值實際上就是。反之亦然。為了使函式間隔最大（更大的信心確定該例是正例還是反例），當時，應該是個大正數，反之是個大負數。因此函式間隔代表了我們認為特徵是正例還是反例的確信度。

繼續考慮w和b，如果同時加大w和b，比如在前面乘個係數比如2，那麼所有點的函式間隔都會增大二倍，這個對求解問題來說不應該有影響，因為我們要求解的是，同時擴大w和b對結果是無影響的。這樣，我們為了限制w和b，可能需要加入歸一化條件，畢竟求解的目標是確定唯一一個w和b，而不是多組線性相關的向量。這個歸一化一會再考慮。

剛剛我們定義的函式間隔是針對某一個樣本的，現在我們定義全域性樣本上的函式間隔

說白了就是在訓練樣本上分類正例和負例確信度最小那個函式間隔。

接下來定義幾何間隔，先看圖

假設我們有了B點所在的分割面。任何其他一點，比如A到該面的距離以表示，假設B就是A在分割面上的投影。我們知道向量BA的方向是（分割面的梯度），單位向量是。A點是，所以B點是x=（利用初中的幾何知識），帶入得，

進一步得到

實際上就是點到平面距離。

再換種更加優雅的寫法：

當時，不就是函式間隔嗎？是的，前面提到的函式間隔歸一化結果就是幾何間隔。他們為什麼會一樣呢？因為函式間隔是我們定義的，在定義的時候就有幾何間隔的色彩。同樣，同時擴大w和b，w擴大幾倍，就擴大幾倍，結果無影響。同樣定義全域性的幾何間隔

5 最優間隔分類器（optimal margin classifier）

回想前面我們提到我們的目標是尋找一個超平面，使得離超平面比較近的點能有更大的間距。也就是我們不考慮所有的點都必須遠離超平面，我們關心求得的超平面能夠讓所有點中離它最近的點具有最大間距。形象的說，我們將上面的圖看作是一張紙，我們要找一條折線，按照這條折線摺疊後，離折線最近的點的間距比其他折線都要大。形式化表示為：

這裡用=1規約w，使得是幾何間隔。

到此，我們已經將模型定義出來了。如果求得了w和b，那麼來一個特徵x，我們就能夠分類了，稱為最優間隔分類器。接下的問題就是如何求解w和b的問題了。

由於不是凸函式，我們想先處理轉化一下，考慮幾何間隔和函式間隔的關係，，我們改寫一下上面的式子：

這時候其實我們求的最大值仍然是幾何間隔，只不過此時的w不受的約束了。然而這個時候目標函式仍然不是凸函式，沒法直接代入優化軟體裡計算。我們還要改寫。前面說到同時擴大w和b對結果沒有影響，但我們最後要求的仍然是w和b的確定值，不是他們的一組倍數值，因此，我們需要對做一些限制，以保證我們解是唯一的。這裡為了簡便我們取。這樣的意義是將全域性的函式間隔定義為1，也即是將離超平面最近的點的距離定義為。由於求的最大值相當於求的最小值，因此改寫後結果為：

這下好了，只有線性約束了，而且是個典型的二次規劃問題（目標函式是自變數的二次函式）。代入優化軟體可解。

到這裡發現，這個講義雖然沒有像其他講義一樣先畫好圖，畫好分類超平面，在圖上標示出間隔那麼直觀，但每一步推導有理有據，依靠思路的流暢性來推匯出目標函式和約束。

6 拉格朗日對偶（Lagrange duality）

     先拋開上面的二次規劃問題，先來看看存在等式約束的極值問題求法，比如下面的最優化問題：

    目標函式是f(w)，下面是等式約束。通常解法是引入拉格朗日運算元，這裡使用來表示運算元，得到拉格朗日公式為

    L是等式約束的個數。

    然後分別對w和求偏導，使得偏導數等於0，然後解出w和。至於為什麼引入拉格朗日運算元可以求出極值，原因是f(w)的dw變化方向受其他不等式的約束，dw的變化方向與f(w)的梯度垂直時才能獲得極值，而且在極值處，f(w)的梯度與其他等式梯度的線性組合平行，因此他們之間存線上性關係。（參考《最優化與KKT條件》）

然後我們探討有不等式約束的極值問題求法，問題如下：

    我們定義一般化的拉格朗日公式

    這裡的和都是拉格朗日運算元。如果按這個公式求解，會出現問題，因為我們求解的是最小值，而這裡的已經不是0了，我們可以將調整成很大的正值，來使最後的函式結果是負無窮。因此我們需要排除這種情況，我們定義下面的函式：

    這裡的P代表primal。假設或者，那麼我們總是可以調整和來使得有最大值為正無窮。而只有g和h滿足約束時，為f(w)。這個函式的精妙之處在於，而且求極大值。

    因此我們可以寫作

    這樣我們原來要求的min f(w)可以轉換成求了。    

    我們使用來表示。如果直接求解，首先面對的是兩個引數，而也是不等式約束，然後再在w上求最小值。這個過程不容易做，那麼怎麼辦呢？

    我們先考慮另外一個問題

    D的意思是對偶，將問題轉化為先求拉格朗日關於w的最小值，將和看作是固定值。之後在求最大值的話：

    這個問題是原問題的對偶問題，相對於原問題只是更換了min和max的順序，而一般更換順序的結果是Max Min(X) <= MinMax(X)。然而在這裡兩者相等。用來表示對偶問題如下：

    下面解釋在什麼條件下兩者會等價。假設f和g都是凸函式，h是仿射的（affine，）。並且存在w使得對於所有的i，。在這種假設下，一定存在使得是原問題的解，是對偶問題的解。還有另外，滿足庫恩-塔克條件（Karush-Kuhn-Tucker, KKT condition），該條件如下：

    所以如果滿足了庫恩-塔克條件，那麼他們就是原問題和對偶問題的解。讓我們再次審視公式（5），這個條件稱作是KKT dual complementarity條件。這個條件隱含了如果，那麼。也就是說，時，w處於可行域的邊界上，這時才是起作用的約束。而其他位於可行域內部（的）點都是不起作用的約束，其。這個KKT雙重補足條件會用來解釋支援向量和SMO的收斂測試。

    這部分內容思路比較凌亂，還需要先研究下《非線性規劃》中的約束極值問題，再回頭看看。KKT的總體思想是將極值會在可行域邊界上取得，也就是不等式為0或等式約束裡取得，而最優下降方向一般是這些等式的線性組合，其中每個元素要麼是不等式為0的約束，要麼是等式約束。對於在可行域邊界內的點，對最優解不起作用，因此前面的係數為0。

7 最優間隔分類器（optimal margin classifier）

    重新回到SVM的優化問題：

    我們將約束條件改寫為：

    從KKT條件得知只有函式間隔是1（離超平面最近的點）的線性約束式前面的係數，也就是說這些約束式，對於其他的不在線上的點()，極值不會在他們所在的範圍內取得，因此前面的係數.注意每一個約束式實際就是一個訓練樣本。

    看下面的圖：

    實線是最大間隔超平面，假