【機器人學】機器人開源專案KDL原始碼學習：（8）KDL的精髓

首先說一下我的心得：
1. 我認為KDL的精髓是Spatial Vector，結合C++等面向物件的語言可以寫出較好的軟體。
2. 直接閱讀KDL程式碼不適合初學者學習機械臂動力學。
3. 要學習機械臂動力學的話應首先閱讀使用3維向量推導公式的文獻，也就是線速度和角速度獨立分析。
4. 掌握機械臂動力學的原理之後再考慮如何將其寫成程式碼，順序不能錯，否則會很吃力。
5. 機械臂動力學涉及到剛體運動學、剛體動力學、矩陣分析、李群和螺旋理論等。

一、3維向量和6維向量

KDL中的演算法大多是參考的《Rigid Body Dynamics Algorithms》這本書中的方法，它提出了Spatial Vector—是將3維的線性運動（力）和3維的旋轉運動（力）組合起來的6維向量。這種組合可以極大地減小代數運算量，並且可以使程式碼更短、更清晰、更方便閱讀和除錯，所以這種程式適合用C++這種面向物件的語言來寫。
Spatial Vector的種類：
Spatial Velocity：

v^O=[wxwywzvoxvoyvoz]T=[wvO] ${{\hat{v}}_{O}}={{\left[ \begin{matrix} {{w}_{x}} & {{w}_{y}} & {{w}_{z}} & {{v}_{ox}} & {{v}_{oy}} & {{v}_{oz}} \\ \end{matrix} \right]}^{T}}=\left[ \begin{matrix} w \\ {{v}_{O}} \\ \end{matrix} \right]$

Spatial Acceleration：

a^O=ddt[wvO]=[w˙v˙O] ${{\hat{a}}_{O}}=\frac{d}{dt}\left[ \begin{matrix} w \\ {{v}_{O}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {\dot{w}} \\ {{{\dot{v}}}_{O}} \\ \end{matrix} \right]$

Spatial Force：

f^O=[noxnoynozfxfyf]T=[nof

] ${{\hat{f}}_{O}}={{\left[ \begin{matrix} {{n}_{ox}} & {{n}_{oy}} & {{n}_{oz}} & {{f}_{x}} & {{f}_{y}} & f \\ \end{matrix} \right]}^{T}}=\left[ \begin{matrix} {{n}_{o}} \\ f \\ \end{matrix} \right]$

Spatial Momentum:

h^O=[hOh]=[I¯Cw+r×mvCmvC] ${{\hat{h}}_{O}}=\left[ \begin{matrix} {{h}_{O}} \\ h \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{{\bar{I}}}_{C}}w+r\times m{{v}_{C}} \\ m{{v}_{C}} \\ \end{matrix} \right]$

Spatial Inertia tensor:

IO=[I¯C+Mr×r×Tmc×Tmc×m1] ${{I}_{O}}=\left[ \begin{matrix} {{{\bar{I}}}_{C}}+Mr\times r{{\times }^{T}} & mc\times \\ mc{{\times }^{T}} & m1 \\ \end{matrix} \right]$

二、牛頓尤拉法的數學基礎

剛體的運動方程，將牛頓方程和尤拉方程結合：

f=ddt(Iv)=Ia+(v×∗I−Iv×)v=Ia+v×∗Iv $f=\frac{d}{dt}\left( Iv \right)=Ia+\left( v\times *I-Iv\times \right)v=Ia+v\times *Iv$
其中定義的一些運算子：

⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥×=⎡⎣⎢0z−y−z0xy−x0⎤⎦⎥ $\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right]\times =\left[ \begin{matrix} 0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \\ \end{matrix} \right]$ ，

v×∗=[w×0v×w×] $v\times *=\left[ \begin{matrix} w\times & v\times \\ 0 & w\times \\ \end{matrix} \right]$ ,

v×=[wv]×=[w×v×0w×] $v\times =\left[ \begin{matrix} w \\ v \\ \end{matrix} \right]\times =\left[ \begin{matrix} w\times & 0 \\ v\times & w\times \\ \end{matrix} \right]$ ，

IOa=[I¯C+mc×c×Tmc×Tmc×m1][w˙Ov˙O] ${{I}_{O}}a=\left[ \begin{matrix} {{{\bar{I}}}_{C}}+mc\times c{{\times }^{T}} & mc\times \\ mc{{\times }^{T}} & m1 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{{\dot{w}}}_{O}} \\ {{{\dot{v}}}_{O}} \\ \end{matrix} \right]$

[

【機器人學】機器人開源專案KDL原始碼學習：（8）KDL的精髓

一、3維向量和6維向量

二、牛頓尤拉法的數學基礎

【機器人學】機器人開源專案KDL原始碼學習：（8）KDL的精髓

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