題意：設f(i)為0<=x,y<=i-1且xy%i=0的(x,y)對數，g(i)為sigma f(j) [i%j==0]

給定n，求g(n)，答案對2^64取模

T<=2e4，n<=1e9

思路：這題堅定了我要找一個專業數學手的決心……

x,y從[0,i-1]等價於從[1,i]

From Gold_7

最右邊那個符號為約數個數

ANS=n所有約數的平方和-n*約數個數

設s[i][j]表示p[i]^0+p[i]^2+...+p[i]^2*j，尤拉篩之後預處理出來

中間有關於答案的變數全部用unsigned long long 

 1 #include<cstdio>
 2
 
 #include<cstring>
 3 #include<iostream>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<vector>
 6 typedef long long ll;
 7 typedef unsigned long long ull;
 8 using namespace std;
 9 #define N   40000 
10 #define M   32
11 #define oo  10000000
12 #define MOD 105225319
13 
14 ull s[N][M];
15 int prime[N],isprime[N],tot; 
 
16 
17 ull calc1(int n)
18 {
19     int k=n;
20     ull ans=1;
21     for(int i=1;i<=tot;i++)
22     {
23         if(prime[i]*prime[i]>n) break;
24         if(k==1) break;
25         int t=0;
26         while(k%prime[i]==0)
27         {
28             t++;
29             k/=prime[i];
30         }
31
 
         ans*=s[i][t];
32     }
33     if(k>1) ans*=((ull)k*k+1);
34     return ans;
35 }
36 
37 ull calc2(int n)
38 {
39     int k=n;
40     ull ans=1;
41     for(int i=1;i<=tot;i++)
42     {
43         if(prime[i]*prime[i]>n) break;
44         if(k==1) break;
45         int t=0;
46         while(k%prime[i]==0)
47         {
48             t++;
49             k/=prime[i];
50         }
51         ans*=(t+1);
52     }
53     if(k>1) ans*=2;
54     return ans;
55 }
56 
57 int main()
58 { 
59      tot=0;
60      for(int i=2;i<N;i++)
61      {
62          if(!isprime[i]) prime[++tot]=i;
63          for(int j=1;j<=tot;j++)
64          {
65              int t=prime[j]*i;
66              if(t>N) break;
67              isprime[t]=1;
68              if(i%prime[j]==0) break;
69          }
70     }
71     for(int i=1;i<=tot;i++)
72     {
73         ull t=1; s[i][0]=1;
74         for(int j=1;j<M;j++)
75         {
76             t*=prime[i]*prime[i];
77             s[i][j]=s[i][j-1]+t;
78         }
79     }
80     int cas; 
81     scanf("%d",&cas);
82     for(int v=1;v<=cas;v++)
83     {
84         int n;
85         scanf("%d",&n);
86         ull ans=calc1(n)-calc2(n)*n;
87         printf("%I64u\n",ans); 
88     }
89     return 0;
90 }
91