2018-10-25 模擬測試題解

阿新 • • 發佈：2018-11-25

問題 A: 魏傳之長阪逆襲
- 題目描述
- 輸入
- 輸出
- 樣例輸入
- 樣例輸出
- 題解
問題 B: 蜀傳之單刀赴會
問題 C: 吳傳之火燒連營

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問題 A: 魏傳之長阪逆襲

題目描述

眾所周知，劉備在長阪坡上與他的一眾將領各種開掛，硬生生從曹操手中逃了出去，隨後與孫權一起火燒赤壁、佔有荊益、成就霸業。而曹操則在赤壁一敗後再起不能，終生無力南下。
建安二十五年(220年)，曹操已到風燭殘年，但仍難忘當年長阪的失誤，霸業的破滅。他想如果在劉備逃亡的路中事先佈下一些陷阱，便能拖延劉備的逃脫時間了。你作為曹操身邊的太傅，有幸穿越到了208年的長阪坡，為大魏帝國貢獻一份力，佈置一些陷阱。但時空守衛者告訴你你不能改變歷史，不能拖增大劉備的最大逃脫時間，但你身為魏武之仕，忠心報國，希望能新增一些陷阱使得劉備不論怎麼逃跑所用的時間都一樣。
已知共有n個據點，n-1條棧道，保證據點聯通。1號據點為劉備軍逃跑的起點，當劉備軍跑到某個據點後不能再前進時視為劉備軍逃跑結束。在任意一個棧道上放置1個陷阱會使通過它的時間+1，且你可以在任意一個棧道上放置任意數量的陷阱。
現在問你在不改變劉備軍當前最大逃跑時間的前提下，需要新增最少陷阱，使得劉備軍的所有逃脫時間都儘量的大。

輸入

第一行一個數n，表示據點個數。
接下來n-1行每行三個數，ai、bi、ti，表示從據點ai通過第i個棧道到bi耗時ti

輸出

僅包含一個數，為需要新增的最少陷阱數。

樣例輸入

3
1 2 1
1 3 3

樣例輸出

對於 5%的資料，1<=n<=100000，1<=ti<=200000
對於 100%的資料，1<=n<=500000，0<ti<=1000000

題解

此題是一道樹形DP,很顯然,它就是讓你求從根開始到每一個葉子結點的權值和相等需要改多少邊權
設\(f[x]\)表示以\(x\)為跟，到它的子樹中權值的最大值
再設\(sum\)表示已\(x\)

為根的權值總和
再設x為根的節點有\(cnt\)個孩子
則對於\(x\)，答案要加上\(cnt*f[x]-sum\)

程式碼如下(因為比較簡單，就不解釋了)
還有，記得開\(long\ long\)啊

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1000005;
int n,edge;
LL ans;
int Next[N],head[N],vet[N],val[N];
LL f[N];
inline void add(int u,int v,int va){
    Next[++edge]=head[u];
    head[u]=edge;
    vet[edge]=v;
    val[edge]=va;
}
void dfs(int u,int father){
    LL Max=0,sum=0;int cnt=0;
    for (int i=head[u];i;i=Next[i]){
        int v=vet[i];
        if (v==father) continue;
        dfs(v,u);
        Max=max(Max,f[v]+val[i]);
        sum+=(0LL+f[v]+val[i]);++cnt;
    }
    ans+=(1LL*Max*cnt-sum);
    f[u]=Max;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<n;++i){
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        add(u,v,w);add(v,u,w);
    }
    dfs(1,0);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

問題 B: 蜀傳之單刀赴會

題目描述

公元215年，劉備取益州，孫權令諸葛瑾找劉備索要荊州。劉備不答應，孫權極為惱恨，便派呂蒙率軍取長沙、零陵、桂陽三郡。長沙、桂陽蜀將當即投降。劉備得知後，親自從成都趕到公安(今湖北公安)，派大將關羽爭奪三郡。孫權也隨即進駐陸口，派魯肅屯兵益陽，抵擋關羽。雙方劍拔弩張，孫劉聯盟面臨破裂，在這緊要關頭，魯肅為了維護孫劉聯盟，不給曹操可乘之機，決定當面和關羽商談。“肅邀羽相見，各駐兵馬百步上，但諸將軍單刀俱會”。雙方經過會談，緩和了緊張局勢。隨後，孫權與劉備商定平分荊州，“割湘水為界，於是罷軍”，孫劉聯盟因此能繼續維持。

【問題描述】

關羽受魯肅邀請，為了大局，他決定冒險赴會。他帶著侍從周倉，義子關平，騎著赤兔馬，手持青龍偃月刀，從軍營出發了，這就是歷史上赫赫有名的“單刀赴會”。關羽平時因為軍務繁重，決定在這次出行中拜訪幾個多日不見的好朋友。然而局勢緊張，這次出行要在限定時間內完成，關公希望你能夠幫助他安排一下行程，安排一種出行方式，使得從軍營出發，到達魯肅處赴會再回來，同時拜訪到儘可能多的朋友，在滿足這些條件下行程最短。注意拜訪朋友可以在赴會之前，也可以在赴會之後。現在給出地圖，請你完成接下來的任務。

輸入

第一行n,m,k,t,代表有n個地點，m條道路,有k個朋友(不包括魯肅)，以及限定時間t(行走1單位長度的路程用時1單位時間)。
接下來m行，每行有x,y,w三個整數，代表x和y之間有長度為w的道路相連。
接下來一行有k個整數，代表朋友所在的都城編號(保證兩兩不同，且不在1和n)（我們約定1是關羽的營地，n是魯肅的營地）

輸出

輸出兩個整數，分別是最多可以拜訪的朋友數，以及在這種情況下最少需要耗費的時間，如果連到達魯肅再回來都無法完成，輸出一個-1就可以了。

樣例輸入

樣例輸出

2 14

有10%資料，n<=10,m<=50,k<=5;
有10%資料,k=0;
有10%資料,k=1;
另30%資料，k<=5;
對於100%資料， n<=10000,m<=50000,k<=15,t<=2147483647,w<=10000

題解

這道題目發現k非常小，於是考慮狀態壓縮

這個時候，我發現n似乎沒有什麼用……
我們只需要知道朋友之間的距離即可

因為關羽的陣地和魯肅的陣地是必須去的
我們不妨把關羽和魯肅分別設為\(0\)號朋友與\(k+1\)號朋友
在統計答案時令關羽的陣地和魯肅的陣地必須到即可

我們先統計出每一個朋友之間的距離為\(dis[i][j]\)
狀態\(f[sta][i]\)表示\(sta\)的狀態，且當前留在最後一個朋友的位置

\(f[sta\ \ | \ \ (1<<(i-1))][i]=\displaystyle\min_{j\ \in\ sta\ \ and \ \ i\ not \in\ sta}{(f[sta][j]+dis[j][i])}\)

這是什麼意思呢？？

如果關羽還沒有到過i,但他到過j，他就可以從j走到i

最後的答案就是\(f[sta][i]+dis[i][0]\)(若\(sta\)到過\(0\)號與\(k+1\)號且\(f[sta][i]+dis[i][0]<=d\))
及到過他自己的與魯肅的陣地中且最後再返回自己的陣地

上程式碼：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=100005;
struct ac{
    int now,value;
    bool operator < (const ac &A) const {return A.value<value;}
};
int Dis[N],Friend[20];
int n,m,k,t,cnt,ans,ANS;
bool vis[N];
int dp[17][132000];
int dis[20][20];
int Next[N],head[N],vet[N],val[N],edge;
inline void read(int &x){//讀入優化
    x=0;char ch=getchar();int f=0;
    while (ch>'9'||ch<'0') f|=ch=='-',ch=getchar();
    while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48,ch=getchar();
    x=(f==1)?-x:x;
}
inline void add(int u,int v,int va){
    Next[++edge]=head[u];
    head[u]=edge;
    val[edge]=va;
    vet[edge]=v;
}
void dijkstra(int st){//堆優化的最短路
    priority_queue<ac> Q;
    memset(Dis,0x3f3f3f,sizeof(Dis));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    Q.push((ac){st,0});Dis[st]=0;
    while (!Q.empty()){
        int now=Q.top().now;Q.pop();
        if (vis[now]) continue;
        vis[now]=1;
        for (int i=head[now];i;i=Next[i]){
            int v=vet[i],va=val[i];
            if (Dis[v]>Dis[now]+va) {  
                Dis[v]=Dis[now]+va;
                Q.push((ac){v,Dis[v]});
            }
        }
    }
}
int main(){//重要的來了！！
    read(n);read(m);read(k);read(t);
    for (int i=1;i<=m;++i){
        int u,v,w;
        read(u);read(v);read(w);
        add(u,v,w);
        add(v,u,w);
    }
    Friend[0]=1;Friend[k+1]=n;//新增兩個朋友，及自己與魯肅
    for (int i=1;i<=k;++i) read(Friend[i]);
    for (int i=0;i<=(k+1);++i){
        dijkstra(Friend[i]);//對於每一個朋友求出到另外朋友的最短路
        for (int j=0;j<=(k+1);++j){
            if (i==j) continue;
            dis[i][j]=Dis[Friend[j]];
        }
    }
    int N=1<<k+2;//因為新增了兩個朋友
    memset(dp,0x3f3f3f,sizeof(dp));int oo=dp[1][1];
    for (int i=0;i<=(k+1);++i) dp[i][1<<i]=dis[0][i];
    //初始化   到i需要dis[0][i]
    for (int sta=0;sta<N;++sta){
        for (int i=0;i<=(k+1);++i)
        if ((sta&(1<<i))==0)//如果i不屬於sta
        for (int j=0;j<=(k+1);++j)
        if ((sta&(1<<j))>0) //如果j屬於sta
            dp[i][sta|(1<<i)]=min(dp[i][sta|(1<<i)],dp[j][sta]+dis[j][i]);
        //轉移
    }
    ANS=2000000000;
    for (int sta=0;sta<N;++sta){
        if ((sta&(1<<0))>0&&(sta&(1<<k+1))>0){
                    //到過0號(關羽自己)與k+1號(魯肅)
            for (int i=0;i<=(k+1);++i){
                if (dp[i][sta]+dis[i][0]<=t){
                    cnt=0;
                    int x=sta;
                    while (x){
                        x-=(x&(-x));
                        ++cnt;
                    }//判斷sta有多少1，及關羽拜訪了多少朋友
                    if (cnt>ans){
                        ans=cnt;
                        ANS=dp[i][sta]+dis[i][0];
                    } else 
                    if (cnt==ans) ANS=min(ANS,dis[i][0]+dp[i][sta]);
                }
            }
        }
    }
    if (ANS==2000000000) puts("-1"); else printf("%d %d\n",ans-2,ANS);//判斷-1
    return 0;
}

問題 C: 吳傳之火燒連營

【題目背景】

蜀漢章武元年(221年)，劉備為報吳奪荊州、關羽被殺之仇，率大軍攻吳。吳將陸遜為避其鋒，堅守不戰，雙方成對峙之勢。蜀軍遠征，補給困難，又不能速戰速決，加上入夏以後天氣炎熱，以致銳氣漸失，士氣低落。劉備為舒緩軍士酷熱之苦，命蜀軍在山林中安營紮寨以避暑熱。陸遜看準時機，命士兵每人帶一把茅草，到達蜀軍營壘時邊放火邊猛攻。蜀軍營寨的木柵和周圍的林木為易燃之物，火勢迅速在各營漫延。蜀軍大亂，被吳軍連破四十餘營。陸遜火燒連營的成功，決定了夷陵之戰蜀敗吳勝的結果。

【問題描述】

劉備帶兵深入吳境，陸遜卻避而不出，蜀軍只得在山林中安營紮寨。而劉備在紮營時卻犯了兵家大忌，將兵營排列成一條直線，遠遠看去，就像是一條串著珠子的鏈，美其名曰：鏈寨。如果吳軍將領是一般人，那麼這也許不算什麼，而陸遜何許人也，他可是江東才子，能力不低於周瑜的一代儒將。他看到劉備這樣排陣，心生一計，決定用火攻破陣。然而，火計除了要有風，選定引火點也非常重要，對於劉備的佈陣，最佳引火點一定是n個兵營中的一個。而因為風水輪流轉，每天的最佳引火點都不一樣。我們給每個兵營定下一個固定不變的火攻值Ai，每天定下一個風水值K，對於每天的最佳引火點，顯然是所有兵營中火攻值與風水值異或的結果最大的那一個兵營。然而，陸遜是個謹慎的人，他要觀察時機，在m天中選定一個最佳的進攻的日期，為此他演算出了這m天每天的風水值，然後他希望你能夠告訴他這m天每天最佳引火點的兵營編號。

輸入

第一行n,m，代表有n個兵營，m天.
接下來一行有n個非負整數，代表這n個兵營的火攻值。
接下來一行有m個非負整數，代表這m天的風水值。

輸出

輸出共m行，每行輸出一個整數，代表第m天最佳引火點的編號。
如果存在多個最佳引火點使得火攻值與風水值的異或值最小，請任意輸出一組解即可。

樣例輸入

3 2
1 2 3
4 5

樣例輸出

3
2

【樣例解釋】

對於第1天，由於4 xor 1=5, 4 xor 2=6, 4 xor 3=7，選擇第3個引火點是最佳的。
對於第2天，由於5 xor 1=4, 5 xor 2=7, 5 xor 3=6，選擇第2個引火點是最佳的。

【資料規模和約定】

對於30%資料，n<=1000，m<=1000
對於100%資料，n<=100000，m<=100000, 0<=k,ai<=2147483647

題解

其實這道題目就是一道Trie樹模板題
Trie樹我就不再贅述了，可以戳這裡
從\(2^{33}->2^{0}\)每次掃一遍即可
平均時間複雜度\(O(35n)\)
陣列一定要開大一點！！
程式碼：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int Trie[8000000][2],m,a[100],b[8000000],root,Tot,tot,n,x;
void read(int &a){
    char ch=getchar();int f=0;a=0;
    while (ch<'0'||ch>'9') f|=ch=='-',ch=getchar();
    while (ch>='0'&&ch<='9') a=(a<<3)+(a<<1)+ch-48,ch=getchar();
    a=(f==0)?a:-a;
}
void build(int yyy){//構建
    int root=1;
    for (int i=33;i>=0;--i){
        if (Trie[root][a[i]]==0) Trie[root][a[i]]=++Tot;
        root=Trie[root][a[i]];
    }
    b[root]=yyy;
}
int ask(){//查詢
    int root=1;
    for (int i=33;i>=0;--i){
        if (Trie[root][1-a[i]]!=0) root=Trie[root][1-a[i]];
            else root=Trie[root][a[i]];
    }
    return b[root];
}
int main()
{
    read(n);read(m);Tot=1;
    for (int i=1;i<=n;++i) {
        read(x);tot=-1;
        memset(a,0,sizeof(a));
        while (x){
            a[++tot]=(x&1);
            x=x>>1;
        }
        build(i);
    }
    for (int i=1;i<=m;++i){
        read(x);tot=-1;
        memset(a,0,sizeof(a));
        while (x){
            a[++tot]=(x&1);
            x=x>>1;
        }
        printf("%d\n",ask());
    }
    return 0;
}

2018-10-25 模擬測試題解

問題 A: 魏傳之長阪逆襲

題目描述

輸入

輸出

樣例輸入

樣例輸出

題解

問題 B: 蜀傳之單刀赴會

題目描述

【問題描述】

輸入

輸出

樣例輸入

樣例輸出

題解

問題 C: 吳傳之火燒連營

【題目背景】

【問題描述】

輸入

輸出

樣例輸入

樣例輸出

【樣例解釋】

【資料規模和約定】

題解

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