線性支援向量機學習有另一種解釋，那就是最小化以下目標函式：
$\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}[$

定理證明

線性支援向量機原始最優化問題:
$\min_{w,b,\xi} \dfrac{1}{2} ||w||^2 + C\sum_{i=1}^{N}\xi_i \tag{1}$
$s.t. \ y_i(w·x_i+b) \ge 1- \xi_i,i=1,2,\dots,N \tag{2}$
$\xi_i \ge 0,i=1,2,\dots,N \tag{3}$
等價於最優化問題 $\min\limits_{w,b} \sum_{i=1}^N [1-y_i(w·x_i+b)]_+ + \lambda||w||^2 \tag{4}$

證明:
令 $[1+y_i(w·x_i+b)]_+ = \xi_i$，則 $\xi_i \ge 0$，式（2）成立。
當 $1-y_i(w·x_i+b)>0$時，有 $1-y_i(w·x_i+b) = \xi_i$， $y_i(w·x_i+b)=1-\xi_i$；當 $1-y_i(w·x_i+b) \le0$時，有 $\xi_i =0$