可以先做這個題[SDOI2010]古代豬文

此算法和LUCAS定理沒有半毛錢關系。

【模板】擴展盧卡斯

不保證P是質數。

$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

麻煩的是分母。

如果互質就有逆元了。

所以可以考慮把分子分母不互質的數單獨提出來處理。

然鵝P太一般，直接處理要考慮的東西太多。

我們不妨令$p=p_1^{q_1}*p_2^{q_2}*...*p_k^{q_k}$

對每一個$p_i^{q_i}$分別求解(不妨叫這個數為$pk$)（這樣會容易很多）

即求ai滿足：$\frac{n!}{m!(n-m)!} = a_i\space mod \space pk$

然後可以$CRT$合並

現在不互質的就是pi的倍數

首先我們可以把分子分母的所有$pi$質因子都提出來，然後上下次數相消。

對於$n!$中p的質因個數，就是不斷除以p^i下取整。

剩下的都是和pk互質的了。存在逆元

以求$19!\space mod\space 3^2$為例

$19!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16*17*18*19$

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define int long long 
#define numb (ch^‘0‘)
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){
    char ch;x=0;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch==‘-‘)&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
ll p;
ll qm(ll x,ll y,ll pk){
    x%=pk;
    ll ret=1;
    while(y){
        if(y&1) ret=(ret*x)%pk;
        x=(x*x)%pk;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}
ll calc(ll n,ll pi,ll pk){//計算階乘部分 （質因子已經提前處理這裏不予考慮） 
    if(!n) return 1;
    ll res=1;
    for(reg i=2;i<pk;++i)//每個循環節 
        if(i%pi) res=(res*i)%pk;
    res=qm(res,n/pk,pk);
    for(reg i=2;i<=n%pk;++i)
        if(i%pi) res=(res*i)%pk;
    return res*calc(n/pi,pi,pk)%pk;
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){//exgcd
    if(!b){
        x=1,y=0;return;
    }
    exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
}
ll inv(ll n,ll pk){//逆元 
    ll x,y;exgcd(n,pk,x,y);
    x=(x%pk+pk)%pk;
    return x;
}
ll C(ll n,ll m,ll pi,ll pk){//計算C(n,m)mod pi^k 
    ll up=calc(n,pi,pk),d1=calc(m,pi,pk),d2=calc(n-m,pi,pk);
    ll k=0;
    for(reg i=n;i;i/=pi) k+=i/pi;//處理質因子個數 
    for(reg i=m;i;i/=pi) k-=i/pi;
    for(reg i=n-m;i;i/=pi) k-=i/pi;
    return up*inv(d1,pk)%pk*inv(d2,pk)%pk*qm(pi,k,pk)%pk;
}

ll CRT(ll b,ll mod){//CRT每步算出來了之後直接合並 
    return (b*inv(p/mod,mod)%p*(p/mod))%p;
}
ll EXLUCAS(ll n,ll m){//質因數分解+開始處理C 
    ll ret=0;
    ll tmp=p;
    for(reg i=2;(ll)i*i<=tmp;++i){
        if(tmp%i==0){
            ll pi=i,pk=1;
            while(tmp%i==0) pk*=i,tmp/=i;
            (ret+=CRT(C(n,m,pi,pk),pk))%=p;
        }
    }
    if(tmp>1) (ret+=CRT(C(n,m,tmp,tmp),tmp))%=p;
    return ret;
}
int main(){
    ll n,m;
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
    printf("%lld",EXLUCAS(n,m));
    return 0;
}

}
signed main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
   Date: 2018/12/1 8:44:42
*/

這個算法的核心思路是：

1.不互質的要提出來單獨處理

2.直接處理P，不互質的太多了

3.分成質因子處理，CRT合並

4.對於階乘上下提出不互質的部分（質因子），轉化成互質存在逆元的情況

5.觀察剩余部分，後面可以對pk取模。

發現一部分還是階乘，遞歸處理。

另一部分發現有循環節，利用循環節加速處理。

剩下的邊角考慮一下。

（5本質上就是對每個數提取pi質因子，剩下的再乘起來。不過用遞歸和循環節加速了一下）

還有一個無聊的題:

[國家集訓隊]禮物

簡單的組合數學，非要考你擴展LUCAS。。。。

[學習筆記]擴展LUCAS定理