擴展歐幾裏得算法

"那時候真好"

今天剛剛學了擴展歐幾裏德算法，讓我很興奮！於是我開始做同余方程，因此，我又被wyx卷了一頓！
emm，題意就是$ ax\equiv 1\pmod{b}$求x的最小整數解。由此可以得到 \(ax\bmod b =1\)（因為\(1 \bmod b=1\)）即\(ax+by=1\)於是可以用擴展歐幾裏德來做了！

下列是證明

證明:

原式: \(ax+by=gcd(a,b)\)(假設\(a≥b\))

• \(b=0\),有\(gcd(a,b)=a\),此時\(x=1,y=0\)
• \(b\neq 0\),根據歐幾裏得定理\(gcd(a,b)=gcd(b,a\bmod b)\)
  可得
  $ ax+by = gcd(a,b)?$ $ = gcd(b,a\bmod b)?$ \(=bx'+(a\bmod b)y' ?\)

即
$ ax+by=bx‘+(a\bmod b)y‘ =bx‘+(a-b*\lfloor a/b \rfloor) y‘$

移項得
$ ax+by=bx‘+(a\bmod b)y‘ =ay‘+b(x‘-\lfloor a/b \rfloor y‘)$

根據恒等定理,有
\[\begin{cases} x=y'\\ y=x'- \lfloor a/b\rfloor y' \end{cases} \]

這有什麽用呢?
\(x'\)

和\(y'\)還是不知道呀.
重新來看看我們得到的兩個等式.\(x\)和\(y\)是\(gcd(a,b)=ax+by\)的解,

而\(x'\)和\(y'\)是在對\(gcd(a,b)\)按歐幾裏德算法進行一步後的結果對應的貝祖等式(裴蜀)\(gcd(b,a\bmod b)=bx'+(a\bmod b)y'\)的解.

也就是說,\(gcd(a,b)\)對應的貝祖等式的解\(x\),\(y\)可以由\(gcd(b,a\bmod b)\)對應等式的解\(x'\),\(y'\)計算得出

由於歐幾裏德算法最後一步為\(gcd(d,0)=d\),此時對應的等式的解為\(x=1\)

,\(y=0\),因此只要如上述代碼,從\(gcd(d,0)\)往前處理,

在進行歐幾裏德算法的遞歸的時候根據相鄰兩次調用間\(x\),\(y\)和\(x'\),\(y'\)的關系計算即可求出\(ax+by=gcd(a,b)\)的解.

更進一步,對於任意不定式\(ax'+by'=c\),只需要在等式\(ax+by=gcd(a,b)=d\)兩邊乘上\(c/d\)即可得到解為$ x‘=x\cdot c/d,y‘=y\cdot c/d $

如何得到所有解?
實際上在之前的計算和證明中我們得到的只是不定方程的一組解,那麽怎樣得到所有解呢?對於一般形式\(ax+by=c\)有通解
\(x=p+kb,y=q-ka (k\in Z)\)
.(證明略,只要代入一下就知道為什麽通解是這個了

上述證明出自擴展歐幾裏德算法(附證明)

代碼

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int t, x, y;

int exgcd(int a, int b){
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return x;
    }else{
        exgcd(b, a % b);
        t = x;
        x = y;
        y = t - (a / b) * y;
    }
    return x;
}

int main() {
    int a, b;
    cin>>a>>b;
    int ans = (exgcd(a, b) + b) % b;//可能出現負數，這個操作就是都加上b，如果是負數，那麽就會變正，若為正數，因為%b，所以又會變回去。
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

2018-05-24 20:13:58 初稿

2018-08-16 12:10 修訂

感覺之前也是囫圇吞棗的學習,系統復習後發現了很多錯誤

[筆記]擴展歐幾裏得算法