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Description

兩只青蛙在網上相識了，它們聊得很開心，於是覺得很有必要見一面。它們很高興地發現它們住在同一條緯度線上，於是它們約定各自朝西跳，直到碰面為止。可是它們出發之前忘記了一件很重要的事情，既沒有問清楚對方的特征，也沒有約定見面的具體位置。不過青蛙們都是很樂觀的，它們覺得只要一直朝著某個方向跳下去，總能碰到對方的。但是除非這兩只青蛙在同一時間跳到同一點上，不然是永遠都不可能碰面的。為了幫助這兩只樂觀的青蛙，你被要求寫一個程序來判斷這兩只青蛙是否能夠碰面，會在什麽時候碰面。
我們把這兩只青蛙分別叫做青蛙A和青蛙B，並且規定緯度線上東經0度處為原點，由東往西為正方向，單位長度1米，這樣我們就得到了一條首尾相接的數軸。設青蛙A的出發點坐標是x，青蛙B的出發點坐標是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，兩只青蛙跳一次所花費的時間相同。緯度線總長L米。現在要你求出它們跳了幾次以後才會碰面。

Input

輸入只包括一行5個整數x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

輸出碰面所需要的跳躍次數，如果永遠不可能碰面則輸出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

分析：

開始用了暴力枚舉，後來一看數據這麽大，估計肯定超時，無奈上網搜索了一下，考察的是擴展歐幾裏德算法，還有比較大的整數_int64的處理。

設經過s步後兩青蛙相遇，則必滿足該等式：(x+ms)-(y+ns)=kl(k=0,1,2....)
將等式進行變形得：(n-m)

首先想到的一個方法是用兩次for循環來枚舉s,l的值，看是否存在s,l的整數解，若存在則輸入最小的s，但顯然這種方法是不可取的，誰也不知道最小的s是多大，如果最小的s很大的話，超時是明顯的。

其實這題用歐幾裏德擴展原理可以很快的解決，先來看下什麽是歐幾裏德擴展原理：
歐幾裏德算法又稱輾轉相除法，用於計算兩個整數a,b的最大公約數。其計算原理依賴於下面的定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
證明：a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b

歐幾裏德算法就是根據這個原理來做的，其算法用C++語言描述為：　

int Gcd(int a, int b)
{
    　　if(b == 0)
        　　return a;
    return Gcd(b, a % b);　　
}

也可以寫成叠代的形式：

int Gcd(int a, int b)　
{
    while(b != 0)
    {
        int r = b;
        b = a % b;
        a = r;
    }
    return a;
}

補充: 擴展歐幾裏德算法是用來在已知a, b求解一組x，y使得ax+by=Gcd(a,b)(解一定存在，根據數論中的相關定理)。擴展歐幾裏德常用在求解模線性方程及方程組中。下面是一個使用C++的實現：

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)　
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
        　　
    }
    int r = exGcd(b, a % b, x, y);
    int t = x;
    x = y;
    y = t - a / b * y;
    return r;　　
}

把這個實現和Gcd的遞歸實現相比，發現多了下面的x,y賦值過程，這就是擴展歐幾裏德算法的精髓。
可以這樣思考:
對於a‘ = b, b‘ = a % b 而言，我們求得 x, y使得 a‘x + b‘y = Gcd(a‘, b‘)
由於b‘ = a % b = a - a / b * b (註：這裏的/是程序設計語言中的除法)
那麽可以得到:a‘x + b‘y = Gcd(a‘, b‘) ===>
　　bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a‘, b‘) = Gcd(a, b) ===>
　　ay +b(x - a / by) = Gcd(a, b)
因此對於a和b而言，他們的相對應的p，q分別是 y和(x-a/by).
　　
在網上看了很多關於不定方程方程求解的問題，可都沒有說全，都只說了一部分，看了好多之後才真正弄清楚不定方程的求解全過程，步驟如下：
求a * x + b * y = n的整數解。
1、先計算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，則方程無整數解；否則，在方程兩邊同時除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a‘ * x + b‘ * y = n‘，此時Gcd(a‘,b‘)=1;
2、利用上面所說的歐幾裏德算法求出方程a‘ * x + b‘ * y = 1的一組整數解x0,y0，則n‘ * x0,n‘ * y0是方程a‘ * x + b‘ * y = n‘的一組整數解；
3、根據數論中的相關定理，可得方程a‘ * x + b‘ * y = n‘的所有整數解為：
x = n‘ * x0 + b‘ * t
y = n‘ * y0 - a‘ * t
(t為整數)
上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整數解。

代碼：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
#define LL long long
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    else
    {
        LL t=exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=(a/b)*x;
        return t;
    }
}
LL x,y,m,n,l;
LL a,b,c;
int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
    a=m-n;
    b=l;
    c=y-x;
    LL gcd=exgcd(a,b,x,y);
    if(c%gcd) printf("Impossible\n");
    else
    {
        x*=1LL*c/gcd;
        printf("%lld",(x%b+b)%b);
    }
    return 0;
}

POJ 1061 青蛙的約會 （擴展歐幾裏得算法）