有這樣的問題：

給你兩個整數數$(a,b)$，問你整數$x$和$y$分別取多少時，有$ax+by=gcd(x,y)$，其中$gcd(x,y)$表示$x$和$y$的最大公約數。

數據範圍$a,b≤10^{18}$。

求解這個問題有一種方法，叫做擴展歐幾裏得算法（簡稱擴歐），其本質是一個遞歸求解的過程。

首先由一個前置的結論是$gcd(x,y)=gcd(y,x\%y)$。此處的$\%$為$c++$中取模操作，下同。

我們不妨設$a>b$

當$a≠0,b=0$時，則顯然有$x=1,y=0$。此時$gcd(a,b)=a$。

當$b≠0$時，我們假設我們已經求出了$bx‘+(b\%a)y‘=gcd(a,b)$的$x‘$和$y‘$（這是式1），我們現在要求的是$ax+by=gcd(a,b)$。

我們對式子$1$做一些微小的變式

原式$=bx‘+(b\%a)y‘$

$=bx‘+(a-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b)\times y‘$

$=bx‘+ay‘-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b\times y‘$

$=ay‘+b(x‘-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y‘)$

不難發現，$x=y‘$，$y=(x‘-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y‘)$就是一組符合條件的解。

然後無腦遞歸解決即可，代碼很短，復雜度顯然是$O(\log_2 a)$的。

1
 
 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
2     if(!b) {x=1; y=0; return;}
3     exgcd(b,a%b,y,x);
4     y-=a/b*x;
5 }

下面來說下這東西能幹啥

我們不難發現，我們需要求$a$在模$b$意義下的乘法逆元（前提條件，$a$與$b$互質）

我們可以執行一次$exgcd(a,b,x,y)$，然後$x$就是$a$在模$b$意義下的逆元。

證明顯然：

$ax+by=1$

$ax\equiv 1(\mod b)$

當模數不是質數的時候你就會知道這東西有多重要。

【learning】 擴展歐幾裏得算法（擴展gcd）什麽的