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歐幾裏得算法求最大公約數（輾轉相除）

定理 gcd( m , n )=gcd ( n , m mod n ) ( m>n 且 m mod n 不為0)

最小公倍數記為lcm( m , n )，顯然lcm( m , n )=m*n / gcd( m , n )

對於正整數k,有性質 lcm( km , kn)=k*gcd( m , n )

歐幾裏得算法

 1 int gcd(int m,int n)  //求m,n最大公約數
 2 {
 3     if(m<n)
 
 4         gcd(n,m);
 5     int r;
 6     do{
 7         r=m%n;
 8         m=n;
 9         n=r;
10     }while(r);
11     return m;
12 }

歐幾裏得算法遞歸實現

1 int gcd(int m,int n)
2 {
3     if(n<m)gcd(n,m);
4     if(n==0)return m;
5     else return gcd(n,m%n);
6 }

由歐幾裏得算法得知 如果gcd( m , n )= 1,則m,n互素

擴展歐幾裏得算法

擴展歐幾裏得算法： 對於不完全為0的非負整數a,b,gcd(a,b)表示a,b的最大公約數d,則存在整數對x,y,使得gcd(a,b)=ax+by。

定理 ：對於不定整數方程ax+by=c,若c mod gcd(a,b)=0(記為(a,b)|c,或d|c),則該方程存在整數解，否則不存在整數解。

證明：設 a>b。

　　1，顯然當 b=0，gcd（a，b）=a。此時 x=1，y=0；

　　2，ab!=0 時

　　設 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根據樸素的歐幾裏德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　則:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根據恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

這樣我們就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基於 x2，y2.

　 上面的思想是以遞歸定義的，因為 gcd 不斷的遞歸求解一定會有個時候 b=0，所以遞歸可以結束。

擴展歐幾裏得遞歸代碼

 1 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)   //&引用符號，修改x,y,函數返回的是a,b的最大公約數
 2 {
 3     if(b==0)
 4     {
 5         x=1;                            
 6         y=0; 
 7         return a;
 8     }
 9     int r=exgcd(b,a%b,x,y);            //遞歸下去
10     int temp=x;
11     x=y;
12     y=temp-a/b*y;
13     return r;
14 }

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