任務

求出A，B的最大公約數，且求出X，Y滿足AX + BY = GCD(A, B)。

說明

要求X，Y，滿足：

• AX + BY = GCD(A,B)。

當 B = 0 時，有X=1,Y=0時等式成立。
當 B > 0 時，在歐幾裏得算法的基礎上，已知：

• GCD(A,B) = GCD(B, A mod B)

先遞歸求出 X‘，Y‘ 滿足：

• BX‘ + (A mod B)Y‘ = GCD(B, A mod B) = GCD(A, B)

然後可以回推，我們將上式化簡得：

• BX‘ + (A - A/B x B)Y‘ = GCD(A, B)
• AY‘ + BX‘ - (A/B) x BY‘ = GCD(A, B)

這裏除法指整除。把含B的因式提取一個B，可得：

• AY‘ + B(X‘ - A/B x Y‘) = GCD(A, B)

故 X=Y‘, Y= X‘ - A/B x Y‘。

接口

int extend_gcd(int a, int b, int &x, int &y);

復雜度：O(logN)， 其中N和a,b同階。
輸入：

• a,b 兩個整數
• &x, &y 引用，ax + by = GCD(a,b)的一組解

輸出：a和b的最大公約數
調用後x,y滿足方程ax+by=GCD(a,b)。

代碼

int extend_gcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    } else {
        int r = extend_gcd(b, a%b, y, x);
        y -= x * (a / b);
        return r;
    }
}
 

使用範例

POJ1006，POJ2115。

算法學習筆記1.2.2 擴展歐幾裏得