擴展歐幾裏得算法用於求解形如

ax+by=gcd(a,b)

的方程(其中a,b是常量且>=0)
首先如果b=0，則顯然有x=1，y=0滿足上方程

然後如果b>0的話：
首先我們知道gcd(a,b)=gcd(b,a%b)（歐幾裏得算法求兩數gcd的原理）
設上面那個方程的通解為x0，y0
所以就有

a×x0+b×y0=gcd(a,b)

那麽

b×x0+(a%b)×y0=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)

這裏證明個小結論（神仙都是腦補吧……）
a%b==a-b×[a/b]，其中[]表示取整
設a=k×b+m
a%b==m，a/b==k，那麽a-b×[a/b]=a-k×b=m=a%b

然後就有

b×x0+(a%b)×y0=b×x0+(a-b×[a/b])×y0

展開，再整理能得到

a×y0+b×(x0-y0×[a/b])

然後上面一長串式子連等下來可以得到

a×y0+b×(x0-y0×[a/b])=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)=ax+by（最後這個=開始的）

觀察等式兩邊得到

x=y0，y=x0-y0×[a/b]

然後就可以根據上面過程開始遞歸了，註意判下邊界（b==0）

從lyd書上抄了個代碼過來覺得好像理解得更透徹了一點……
所以說學習要勤抄代碼（霧
代碼我丟一下

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){
        x=1;y=0;return a;
    }
    int d=exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;x=y;y=z-y*(a/b);
    return d; 
}
 

擴展歐幾裏得學習筆記