擴展歐幾裏得算法

擴展歐幾裏得算法（擴O）能在求gcd（a，b）的同時求出丟番圖方程ax+by=gcd(a, b)的解。

然而怎麽求呢？我們觀察gcd(a, b)=gcd(b, a%b)，所以設如下兩個方程：

ax+by = gcd(a,b) = d；

bx’+(a%b)y’ = gcd(b,a%b)；

明顯gcd(a,b) = gcd(b,a%b)，也就是ax+by = bx’+(a%b)y’。

為了求得x與y，我們需要保證a，b不變，所以：ax+by = bx’+(a%b)y’ = bx’+(a-[a/b]*b)y’

=ay’ + b(x’ – [a/b]y’)　　（[a/b]表示a/b的值向下取整。）

所以可得恒等關系： x = y’ , y = (x’ – [a/b]y’)。這樣就求出了一組特解。

那麽如何求全解呢？直接給出遞推式：

x = x0 + (b/gcd)*t

y = y0 – (a/gcd)*t

明顯，b/gcd與a/gcd是互素的，也就是說它們的gcd為1。如果它們再除以一個值，某些解可能就不是整數了。

裴蜀定理

擴O有什麽卵用嗎？其實它可以求線性丟番圖方程（不定方程）。

對任何整數a、b和它們的最大公約數d，關於未知數x和y的線性丟番圖方程（稱為裴蜀等式）：

ax + by = m

有解當且僅當m是d的倍數。因為ax+by=gcd（a，b）。如果m不是d的整數倍的話，m就不是整數了。而因為是丟番圖方程，所以a，b，x，y都為整數。m不為整數時方程無解。

裴蜀等式有解時必然有無窮多個整數解，每組解x、y都稱為裴蜀數，可用擴O求得。只要將x與y同時乘上m/gcd（a，b）就行了。

特別來說，方程 ax + by = 1 有解當且僅當整數a和b互素。（因為gcd（a，b）=1）

乘法逆元

給定一個形如ax≡1 （mod m）的關於x的方程，x即為a關於m的乘法逆元。

怎麽求呢？我們把它等價一下：ax mode m = 1 mod m = 1，ax=m(-y)+1，ax+my=1。

也就是說，只要求出ax+my=1這個方程的解就行了。是不是有點熟悉？對，用擴O+裴蜀求出x，y。

（註意要滿足gcd（a，m）=1）

但是明顯，一道題目出給你不可能讓你輸出無數解，通解也不現實，一般是讓你求出x最小的正整數解。那怎麽辦呢？

x的通解是x0+m/gcd*t，在乘法逆元情況下gcd=1，所以不用考慮。所以x的通解是x0+mt。

因為通解是x0+mt，明顯最小正整數解的區間是[ 0，m），所以似乎只要讓x0%m就可以找到最小解了。

可是萬一x0%m是負數呢？答案是取絕對值就好了。（我也不知道為什麽）

下面貼代碼：（待更）

擴展歐幾裏得算法、裴蜀定理與乘法逆元