在上一次總結過後鴿了沒多久其實是快要開學趕緊來肝上兩篇

今日內容——同余方程和擴展歐幾裏得算法

同余

同余的定義：若存在兩個整數a，b，使得(a - b) MOD P為0，則稱作a與b在MOD P的情況下同余

換種通俗的說法，就是，a MOD P與b MOD P相等

記作 \( a\equiv b (mod P) \)

對於整數a，b，c和自然數m，n

同余具有以下性質：

1. 自反性：\( a\equiv a (mod P) \)
2. 對稱性：若存在\( a\equiv b (mod P) \) ，則 \( b\equiv a (mod P) \)
3. 傳遞性：若存在\( a\equiv b (mod P) \) ，\( b\equiv c (mod P) \)， 則 \( a\equiv b (mod P) \)
4. 同加性：若\( a\equiv b (mod P) \)，則 \( (a+c)\equiv (b+c) (mod P) \)
5. 同乘性1：若\( a\equiv b (mod P) \)，則 \( (a*c)\equiv (b*c) (mod P) \)
6. 同乘性2：若\( a\equiv b (mod P) \) ， \( c\equiv d (mod P) \)，則 \( (a*c)\equiv (b*d) (mod P) \)
7. 同冪性：若\( a\equiv b (mod P) \)，則 \( (a^c)\equiv (b^c) (mod P) \)

　　由此，我們可以得到兩條推論

1. 　　\( (a*b)mod k = (a mod k)*(b mod k) mod k \)
2. 若\( a mod p = x ,a mod q = x，p、q互質，則a mod p*q =x \)

　　但是，相信像我一樣睿智的你也發現了一個問題，沒錯，同余不滿足同除性，即不滿足若\( a\equiv b (mod P) \)，則 \( (a/c)\equiv (b/c) (mod P) \)

　　那麽除法取模要如何解決呢，禿頂聰明絕頂的數學家也發現了這個問題，利用逆元的知識，我們就可以解決這個問題啦！

　　但是逆元，我決定下次再講，其實就是鴿了（咕咕咕）

擴展歐幾裏得算法

　　歐幾裏得算法相信大家都已經知道了QwQ

　　就是求gcd的輾轉相除法

　　不知道的可以去看我的上一篇文章（理直氣壯的騙訪問量QwQ）

　　那麽擴展歐幾裏得算法是啥？（黑人問號.jpg)

　　擴展歐幾裏得算法就是利用了歐幾裏得算法中叠代的過程，使其能夠求出形如\( ax + by = gcd(a , b) \) 的方程的應用

　　我們可以簡單的證明和感性理解一下擴展歐幾裏得算法的正確性：

　　首先，當歐幾裏得算法停止叠代時

　　有此情況 \( a=1，b=0,此時,gcd(a,b)=x,ax+by = gcd(a,b)顯然成立 \)

　　在叠代的過程中

　　有 \( b{x}‘ + (a mod b) {y}‘ = gcd(b, a%b) \)與 \( ax + by = gcd(a, b) \)

　　則由上一層推出

　　\( x= {y}‘ \)，\( y={x}‘-a/b*{y}‘ \)

　　於是可推至初始情況，得出解

　　下面給出代碼的實現

int exgcd (int a, int b, int &x, int &y){
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int ans = exgcd ( b , a % b , x ,y );
    int t = x;
    x = y;
    y= t - a / b * y;
    return ans;
}

　　就是這樣喵

對擴展歐幾裏得定理的應用

　　利用擴展歐幾裏得定理，我們能夠求解形如\( ax+by = c \)的問題

　　當 \(c \mid gcd(a,b) \)時，有\( ax+by = c \)的不定方程有整數解

　　所以，把原式變形為 \( ax+by = d (d = gcd(a,b) ) \)的形式，利用擴展歐幾裏得定理可解出方程的一組解\( (x,y) \)，再將其乘以 \( \frac{c} {gcd(a,b)} \)

　　就能解出原方程的解啦！（快誇我.jpg）

對擴展歐幾裏得定理求出解的處理

　　由於形如 \( ax+by = c \) 的線性不定方程有無窮多解，擴展歐幾裏得定理進行求解的過程中，不一定保證求出的是最小正整數解，為得到最小正整數解，我們有如下的方式

　　易推出，對於線性不定方程 \( ax+by = c \)，有一組解\(x，y\) 與另一組解 \( a*(x + \frac {a*t} {gcd(a,b)}) ，b*(y- \frac {b*t} {gcd(a,b)} | (t\in \mathbb{Z})) \)都為原方程的解

　　則可得出方法：對於線性不定方程 \(ax+by = c \) ，其最小正整數解為( \( x= ( (x\%t)+t)\%t) ，(t=b/gcd(a,b))\)，\( y=(((y\%t)+t)\%t) ，(t=a/gcd(a,b)) \) )

　　至此，問題得到了解決

簡單數論總結2——同余方程與擴展歐幾裏得算法