擴展歐幾裏得算法

　　求逆元就不說了。

　　ax+by=c

　　這個怎麽求，很好推。

　　設d=gcd(a,b) 滿足d|c方程有解，否則無解。

　　擴展歐幾裏得求出來的解是 x是 ax+by=gcd(a,b)的解。

　　對於c的話只需要x*c/gcd(a,b)%(b/d)即可，因為b/d的剩余系更小。

　　為什麽這樣呢？

　　設a‘=a/d,b‘=b/d 求出a‘x+b‘y=1的解，兩邊同時乘d，然後x也是ax+by=d的解，

　　然後因為b‘的剩余系更小，所以%b’

中國剩余定理是合並線性方程組的

中國余數定理

　　轉化為一個線性方程 ax+by=c

　　　a,b

　　　c,d

　　　num % a=b;

　　　num % c=d;

　　　求num最小正整數解;

　　　num=ax+b=cy+d

　　　ax-cy=d-b

　　　可以化為求解 ax≡(d-b)(mod c);

　　　ax+cy=d-b

　　　用ex_gcd求解出x;

　　　num=a*x+b;

　　　這樣num mod a=b

　　　num mod c=d-b+b=d

　　　因為x為最小正整數解，所以num為最小解

　　　滿足的集合為{x|x=num+k·[a,b],(k∈Z)}

　　　然後轉化為%lcm(a,c)=num

　　　然後繼續合並

附上代碼，完美代碼

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<iostream>
 4 #include<cmath>
 5 typedef long long ll;
 6 using namespace std;
 7 ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
 8 {
 9     if (!b)
10     {
11         x=1,y=0;
12         return
 
 a;
13     }
14     ll fzy=ex_gcd(b,a%b,x,y);
15     ll t=x;
16     x=y;y=t-a/b*y;
17     return fzy;
18 }
19 int main()
20 {
21     int t;
22     ll z1,z2,z3,z4;
23     while (cin>>t)
24     {
25         bool flag=0;
26         scanf("%lld%lld",&z1,&z2);
27         for (int i=1;i<t;i++)
28         {
29             scanf("%lld%lld",&z3,&z4);
30             if (flag) continue;
31             ll a=z1,b=z3,c=z4-z2;
32             ll x,y;
33             ll d=ex_gcd(a,b,x,y);
34             if (c%d!=0)
35             {
36                 flag=1;
37                 continue;
38             }
39             ll t=b/d;
40             x=(x*(c/d)%t+t)%t;//t的剩余系更小。
41             z2=z1*x+z2;//得出num
42             z1=z1*(z3/d);
43             cout<<"z1="<<z1<<" z2="<<z2<<endl;
44         }
45         if (flag==1) cout<<-1<<endl;
46         else cout<<z2<<endl;
47     }
48 }

擴展歐幾裏得(ex_gcd)，中國剩余定理（CRT）講解 有代碼