首先我們來看一下投影分類。

從上圖中我們可以看出來透視投影是平面幾何投影的一大類。其下又有一點透視、二點透視和三點透視之分。

我們再來看看透視投影的性質：

性質：
任意一組平行直線，如果平行於投影平面，則經透視投影后所得到的直線或者重合，或者仍保持平行；
如果不平行於投影平面，將不再保持平行，並且必會匯聚於同一點，這個點稱為消失點，也稱為滅點。

下面我將證明兩點：

1. 兩條平行直線不平行於投影平面，投影后所得直線將不再保持平行，並且必會匯聚於一點
2. 一組平行直線不平行於投影平面的時候，投影后所得直線匯聚的是同一點

證明第一點

已知：

1. 兩條不與投影平面平行的平行線 l1 和 l2。
2. 投影中心 O 和 l1 確定的平面和投影平面交於直線 l1’，和 l2 確定的平面和投影平面交於直線 l2’。

證明：l1’ 和 l2’ 相交於一點

使用反證法證明如下：
因為平行線 l1 l2 與投影平面不平行，且 l1 l2 分別與 l1‘ l2’ 位於同一平面上。所以 l1 l2 分別與 l1‘ l2’ 相交。
假設投影后所得的直線不相交，即 l1’ 平行於 l2’。
又因 l1 平行於 l2，l1 l2 分別與 l1’ l2’ 相交，則推出 l1 與 l1’ 確定的平面平行於 l2 與 l2’ 確定的平面。
但實際上兩平面相交於經過透視點中心 O 點的一條直線，矛盾。
所以 l1’ 不平行於 l2’，即投影后所得直線相交。

證明第二點

這個三維做圖不易，我也不太會畫，就腦補一下吧。

已知：

1. 三條不與投影平面平行的平行線 l1 、 l2 和 l3。
2. 投影中心 O 和 l1 確定的平面（記為 Ol1）和投影平面交於直線 l1’，和 l2 確定的平面和投影平面（記為 Ol2）交於直線 l2’，和 l3 確定的平面和投影平面交於直線 l3’。

證明：l1’ l2’ 和 l3‘ 相交於同一點。

用反證法證明如下：
由第一點可知，l1’ 和 l2’ 相交於一點，我們不妨設為點 P。現在我們要證明的就是 l3’ 和 l1’ l2’ 也相交於 P 點。
由於 l1 l2 和 l3 是三條平行線，也就是有 l1 和 l3 平行。那麼由第一點可知，l1’ 和 l3‘ 會相交於一點，我們設此點為點 P’。

由於 平面Ol1 交於直線 l1’。所以可以知道 l1’ 在 平面Ol1 上，而 P點 在 l1’ 上。點 O 和 點 P 均在 平面Ol1 上，因此直線 OP 在 平面Ol1 上。同理 OP 在 平面Ol2 上。因此 OP 為這兩個平面的交線。

由於 l1 平行於 l2 ，因此 l1 平行於過 l2 的平面。而平面 Ol1 和 平面 Ol2 相交於 OP，因此 l1 平行於 OP。

同理 l1 平行於 OP’ 。因此我們知道 l1 平行於 OP 和 OP‘，由此可以推出 OP 和 OP’ 重合。即 P‘ 在 OP 上。
ps. 過一點有且僅有一條直線與已知直線平行。

而我們知道：

1. l1’ 和 l3’ 交於 P’ => P’ 在 l1’ 上
2. l1’ 和 l2’ 交於 P => P 在 l1’ 上

因此我們可以推出：

1. P’ 為 l1’ 和 OP 的交點
2. P 為 l1’ 和 OP 的交點
   那麼可以證得 P 和 P’ 為同一點。

最後，同理可證 l2’ 和 l3’ 也是相交於 P 點。