題面

題目描述

給定一正整數n，對n個點有標號的有向無環圖(可以不連通)進行計數，輸出答案mod 998244353的結果

輸入格式

一個正整數n

輸出格式

一個數，表示答案

樣例輸入

3

樣例輸出

25

資料範圍和約定

對於第i個點 1<=n<=10000*i

增大了資料範圍。

題目分析

COGS2353 【HZOI2015】有標號的DAG計數 I升級版。

在這道題的基礎上繼續往下化：
\[ \begin{split} f(n)&=\sum_{i=1}^n\frac {n!}{(n-i)!\cdot i!}\cdot(-1)^{i+1}\cdot f(n-i)\cdot2^{(n-i)\cdot i}\\ \frac{f(n)}{n!}&=\sum_{i=1}^n\frac{(-1)^{i+1}}{i!}\cdot \frac{f(n-i)}{(n-i)!}\cdot2^{(n-i)\cdot i} \end{split} \]

一個套路
\[ \begin{split} 2^{k(n-k)}&=\sqrt{2}^{2kn-2k^2}\\ &=\sqrt{2}^{-n^2+2kn-k^2-k^2+n^2}\\ &=\sqrt{2}^{n^2-k^2-(n-k)^2}\\ &=\frac{\sqrt{2}^{n^2}}{\sqrt{2}^{k^2}\sqrt{2}^{(n-k)^2}} \end{split} \]

所以
\[ \frac{f(n)}{n!\sqrt2^{n^2}}=\sum_{i=1}^n\frac{(-1)^{i+1}}{i!\sqrt2^{i^2}}\cdot \frac{f(n-i)}{(n-i)!\sqrt2^{(n-i)^2}} \]

構造生成函式
\[ \begin{split} F(x)&=\sum_{i=1}\frac{f(i)}{i!\sqrt 2^{i^2}}x^i\\ G(x)&=\sum_{i=1}\frac{(-1)^{i+1}}{i!\sqrt 2^{i^2}}x^i\\ \end{split} \]

所以
\[ \begin{split} F&=F*G+1\\ F&=\frac 1{1-G} \end{split} \]

程式碼實現

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#define MAXN 0x7fffffff
typedef long long LL;
const int N=400005,mod=998244353,qr2=116195171;
using namespace std;
inline int Getint(){register int x=0,f=1;register char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int ksm(int x,int k){
    int ret=1;
    while(k){
        if(k&1)ret=1ll*ret*x%mod;
        x=1ll*x*x%mod,k>>=1;
    }
    return ret;
} 
void NTT(int *a,int x,int K){
    static int rev[N],lst;
    int n=1<<x;
    if(n!=lst){
        for(int i=0;i<n;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<x-1);
        lst=n;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int i=1;i<n;i<<=1){
        int tmp=i<<1,wn=ksm(3,(mod-1)/tmp);
        if(K==-1)wn=ksm(wn,mod-2); 
        for(int j=0;j<n;j+=tmp){
            int w=1;
            for(int k=0;k<i;k++,w=(LL)w*wn%mod){
                int x=a[j+k],y=(LL)w*a[i+j+k]%mod;
                a[j+k]=(x+y)%mod;a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if(K==-1){
        int inv=ksm(n,mod-2);
        for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(LL)a[i]*inv%mod;
    }
}
void Inv(int *f,int *g,int len){
    static int A[N];
    if(len==1)return g[0]=ksm(f[0],mod-2),void();
    Inv(f,g,len>>1),copy(f,f+len,A);
    int x=log2(len<<1),n=1<<x;
    fill(A+len,A+n,0),fill(g+(len>>1),g+n,0);
    NTT(A,x,1),NTT(g,x,1);
    for(int i=0;i<n;i++)g[i]=(mod+2-(LL)A[i]*g[i]%mod)*g[i]%mod;
    NTT(g,x,-1),fill(g+len,g+n,0); 
}
int a[N],b[N],fac[N];
int main(){
    freopen("dag_count.in","r",stdin);
    freopen("dag_count.out","w",stdout);
    int n=Getint(),x=ceil(log2(n+1));
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<(1<<x);i++)fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%mod;
    a[0]=1;
    for(int i=1;i<(1<<x);i++)
        a[i]=(((i&1)?-1:1)*(LL)ksm(fac[i],mod-2)%mod*ksm(ksm(qr2,(LL)i*i%(mod-1)),mod-2)%mod+mod)%mod;
    Inv(a,b,1<<x);
    cout<<(LL)b[n]*fac[n]%mod*ksm(qr2,(LL)n*n%(mod-1))%mod;
    return 0;
}