LeetCode 221. Maximal Square (最大正方形)
原題
Given a 2D binary matrix filled with 0’s and 1’s, find the largest square containing only 1’s and return its area.
Example:
Input:
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
Output: 4
Reference Answer
思路分析
有兩種方法，第一種就是對矩陣的每個位置求左上角以上所有元素的和，然後用所有可能構成的正方形的區域內進行面積計算，如果面積等於正方形邊長的平方，說明是一個正方形，然後求最大面積。
第二種方法使用DP。設這個DP[i][j]陣列為以i, j位置為右下角頂點的能夠成的最大正方形的邊長。陣列如果是第一行或者第一列，顯然dp和matrix相等。如果是其他位置，當matrix[i][j] = 1時，能夠成的正方形等於左邊、上邊、左上能夠成的正方形邊長的最小值+1.為什麼是最小值？因為只要存在一個0，那麼就沒法構成更大的正方形，這個是很保守的策略。
遞推公式如下：
- dp[0][j] = matrix[0][j] (topmost row);
- dp[i][0] = matrix[i][0] (leftmost column);
- For i > 0 and j > 0: if matrix[i][j] = 0, dp[i][j] = 0; if matrix[i][j] = 1, dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1]) + 1.
時間複雜度是O(N2)，空間複雜度是O(N2)。
這道題開始想成用相成了依據LeetCode 200 求島嶼數量的回溯法求解了，在求解過程中，回溯策略採用從左上角開始，當發現元素為1之後，當
if row < len(matrix) - 1 and col < len(matrix[0]) - 1 and matrix[row + 1][col + 1] == '1' and matrix[row + 1][ col] == '1' and matrix[row][col + 1] == '1'進行判定，回溯return self.dfs(matrix, row + 1, col + 1) + 1；結果證明，這種方法不能判別：
Input:
0 0 0 1
1 1 0 1
1 1 1 1
0 1 1 1
0 1 1 1
Output: 16 (實際應該為9)
錯誤原因正是row = 1, col =1，也滿足回溯條件，故而出錯。最後看參考答案，這道題採用動態規劃更容易做。（吃了沒判定好使用動態規劃與回溯的虧）
Input:
111
010
111
Output: 1（卻被程式判別為2，因為把左下角當做一個獨立島嶼看待了）
而當先對左上角、左下角與右上角進行設定後，依舊不滿足，因為存在
Input:
11
Output: 1（卻被程式判別為2，因為把右上角當做一個獨立島嶼看待了）
最後，放棄動態規劃，改用DFS。
Code
class Solution(object):
def maximalSquare(self, matrix):
"""
:type matrix: List[List[str]]
:rtype: int
"""
if not matrix: return 0
M = len(matrix)
N = len(matrix[0])
dp = [[0] * N for _ in range(M)]
for i in range(M):
dp[i][0] = int(matrix[i][0])
for j in range(N):
dp[0][j] = int(matrix[0][j])
for i in range(1, M):
for j in range(1, N):
if int(matrix[i][j]) == 1:
dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + 1
return max(map(max, dp)) ** 2
Note:
- 動態規劃與DFS到底用哪個要仔細琢磨清楚！
max(map(max, dp))的使用，因為max函式無法直接作用到矩陣 dp 上，通過一個 map 對映，將max函式對映到dp元素上，得到一個迭代物件，再外套一個max函式，得到矩陣的最大值，使用方法很巧妙，值得借鑑（也可採用np.max()函式進行直接矩陣最大值求解）。
參考資料
[1] https://blog.csdn.net/fuxuemingzhu/article/details/82992233