本章是個很有趣的問題，也是難倒很多人的問題，同時這又是個會而不難的問題。

動態規劃的核心邏輯是：將問題分解為子問題。在《演算法圖解》這本書裡，深入淺出得講了遞推公式的推演邏輯，但是在關鍵部分，遞推公式部分，並沒給出邏輯。

整個過程好像是，前面一段道路很平緩，走起來很舒適，但是突然一個大臺階擋住了去路，本篇將試圖為這個臺階做一下鋪墊，讓這個過程更加容易理解一些。

主體仍然以書上的例子作為演示素材。

問題定義

揹包問題場景之一，可以盜竊的東西如下：

現在你的揹包容量只有4磅，目標是在容量允許的情況下，偷到最有價值的物品組合。

最直接的想法是遍歷，三個物品，每個物品都有被偷和不被偷的2種選擇，所以總共有 $2^{}$

3 = 8 2^3 = 8 種選擇。

如果有 $n$個物品，那麼問題的規模就變成了 $2^{}$

n 2^n 次方，顯然這是不可接受的演算法。

現在看看用動態規劃如何解決。

動態規劃

現在把問題拆解為兩個方向：

• 增多物品選擇
• 增大揹包空間

所以這是兩個維度的擴充套件，我們用一個二維的表格來跟蹤問題的解決方案。

每個動態規劃演算法都從一個表格開始。

行為物品種類，列為揹包容量大小。

那麼在第一行的時候，意味著我們只能選擇吉他，吉他的重量是1磅，價值是1500美元

。

所以在揹包容量為1時，最大價值是1500美元，容量為2,3,4時都是1500美元，因為此時只有一個選擇。

所以第一行填滿了：

現在我們擴大物品選擇選項，即音響也可以納入選擇了。我們此時來填第二行。

這裡我們即可以講講填充時的指導規則，而不是自己在腦海裡遍歷。。我們對選項不多的問題，天然有遍歷的傾向，然後問題擴大時，又因為沒有指導規則，就會手足無措。

現在有音響了，意味著我們可以選擇兩個物品：

• 吉他：重1磅，價值1500美金
• 音響：重4磅，價值3000美金

我們現在來填第二行第一格。我們可以這麼想，我們到底有多少選擇呢？

其中揹包空間是1磅重，其實我們就兩個選擇：

• 不選擇音響
• 選擇音響

如果不選擇音響的話，我們就可以不看第二行了，直接把條件再綜合一下：

• 不選擇音響（只有吉他可選）
• 揹包大小為1

能夠偷到的價值是不是和第一行第一列的數值1500美元一樣？

是的。但這只是第一個選擇。如果是第二個選擇呢？我們確定要選擇音響，但是一算，音響重4磅，裝不下，所以最終答案就只能是1500美元。

這個邏輯理解的話，我們可以直接上遞推公式了：

$cell[i][j] =max{ \begin{cases} cell[i-1][j], \\ 當前商品價值 + 剩餘空間最大價值 \end{cases} }$

這兩個選項就分別對應著：當前的商品選還是不選，如果不選，那麼最大價值就是上面一行且同列的值，同列的原因是揹包容量大小相同。
如果選的話，條件也是當前物品能放進揹包，放不進去就談不上第二種選擇了。現在是能選，選上了以後，該物品的價值是到手了的。但是空間不一定用完，因此，我們再去查上一行，對應剩餘空間能裝的物品價值。

注：這個揹包問題的背景設定是每個物品只有一個。現在的被選了，那麼就回退到上一行來看剩餘空間可裝多少價值的問題。

上面的公式可以進一步寫成：

$cell[i][j] =max{ \begin{cases} cell[i-1][j], \\ 當前商品價值 + cell[i-1][j-當前商品重量] \end{cases} }$

公式拿到，我們現在來繼續填充表格:

有了這個表格，我們就可以知道，在三個物品可選，且揹包大小為4時，最大可偷價值為3500。

即，表格一旦達成，問題解答就變成直接查表即可。

假定現在我們增加一個商品，一個手機，重量為1磅，價值為2000美金。我們知道吉他價值1500，重1磅，相比於手機，在1磅的情況下下，偷手機是價效比最好的。

所以我們來看新增一行：

即要填的表格是 $cell[4][1], cell[4][2], cell[4][3], cell[4][4]$。

$cell[4][1] = max\{ cell[3][1], 2000 + cell[3][1-1] \} = max(1500, 2000) = 2000$

這裡出現一個 $cell[0]$，我們的下標從1開始，所以這就是越界，越界的都用0來處理，因為實際表達的含義是，沒有剩餘空間的意思。

再看 $cell[4][2]$.

$cell[4][2] = max\{cell[3][2] , 2000 + cell[3][2-1]\} = max(1500, 3500) = 3500.$

同理：

$cell[4][3] = max\{cell[3][3] , 2000 + cell[3][3-1]\} = max(2000, 2000 + 1500) = 3500 \\ cell[4][4] = max\{cell[3][4] , 2000 + cell[3][4-1]\} = max(2000, 2000 + 2000) = 4000$

所以最終在揹包為4磅容量，可偷四種物品時，最大可偷4000美元的東西。

如果物品是更小粒度呢？

比如增加了一件物品重量是0.5磅，那麼這個表格就得按照這個最小的粒度來劃分。

如果可以偷物品的一部分呢？

比如偷大米，小麥，一袋子太多，不是一袋子偷不偷的問題，而是可不可以拿走一部分。

這個問題動態規劃不可解，但是隔壁的貪心演算法可解：偷價效比最高的，即單價最貴的。

如果子問題之間相互依賴呢？

答案是動態規劃處理不了。動態規劃只處理相互離散的子問題。

END.

參考：

《演算法圖解》第九章