1. 揹包問題

描述： 給定 n 種物品，每種物品有對應的重量weight和價值value，一個容量為 maxWeight 的揹包，問：應該如何選擇裝入揹包的物品，使得裝入揹包中的物品的總價值最大？

過程：

　　a) 把揹包問題抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第 i 個物品選或不選），Vi表示第 i 個物品的價值，Wi表示第 i 個物品的體積（重量）；

　　b) 建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；

　　c) 約束條件，W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity；

　　d) 定義V(i,j)：當前揹包容量 j，前 i 個物品最佳組合對應的價值；

第一個疑惑（unsolved）：

為什麼常見的文章中，j=1,2,3，...n，是有序數列，而不是與重量有關的隨機數列。

2. 遞推關係

尋找遞推關係式，面對當前商品有兩種可能性：

第一，包的容量比該商品體積小，裝不下，此時的價值與前i-1個的價值是一樣的，即V(i,j)=V(i-1,j)；

第二，還有足夠的容量可以裝該商品，但裝了也不一定達到當前最優價值，所以在裝與不裝之間選擇最優的一個，即V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝

其中V(i-1,j)表示不裝，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示裝了第i個商品，揹包容量減少w(i)但價值增加了v(i)；

由此可以得出遞推關係式：

　　　　1) j<w(i)      V(i,j)=V(i-1,j)

　　　　2) j>=w(i)     V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝

第一個疑惑（solved）：

為什麼會出現V(i-1,j-w(i))，尤其是其中的j-w(i)。

因為為了表示這個物品裝進揹包裡了，即：揹包容量變小了。