是什麼

基本思想

          將待求解的問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然後從這些子問題的解得到原問題的解。

求解步驟

1. 找出最優解的性質，刻畫出結構特徵
2. 遞迴的定義最優解的值
3. 自底向上的方式計算最優值（例如0/1揹包問題將價值從低到高排序，再依次像揹包中放入，調整）
4. 根據最優值構造最優解（求出哪些物品放在了揹包中，標記為1，否則標記為0）

0-1揹包問題

問題描述

問題分析

• 嘗試將1號物品放入揹包

• 嘗試將2號物品放入揹包

• 嘗試將3號物品放入揹包

• 嘗試將4號物品放入揹包

• 嘗試將5號物品放入揹包

程式碼示例

• 遞迴定義最優解的值

                      

• 計算揹包最優解的值

int **KnasackDP(int n,int* Weights,float* Values){
	int i,w;	/*物品編號和揹包剩餘容量*/
	
	/*為二維陣列申請空間*/
	int** c=(int**)malloc(sizeof(int*)*(n+1));
	
	/*宣告一個一維陣列存放物品*/
	for(i=0;i<=n;i++)
		c[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(W+1));
		
	/*初始化二維陣列*/
	for(w=0;w<=W;w++)
	/*0個物品放入揹包中，價值為0*/
		c[0][w]=0;
		
	for(i=1;i<=n;i++){
	/*i個物品放到容量為0的揹包中，價值為0*/
		c[i][0]=0;
		
		for(w=1;w<=W;w++){
			if(Weights[i-1]<=w){	/*揹包剩餘容量大於物品重量*/
				/*將當前物品放入揹包的最大價值>不放的最大價值*/
				if(Weights[i-1]+c[i-1][w-Weights[i-1]]>c[i-1][w])
				{
					/*重量為w的揹包中放入該物品*/
					c[i][w]=Values[i-1]+c[i-1][w-Weights[i-1]];
				}
				else{
					/*重量為w的揹包中不放入該物品*/
					c[i][w]=c[i-1][w];
				}
		    }
		    else
				/*若物品重量不小於揹包容量w，則不放入該物品
				c[i][w]=c[i-1][w];
		}
	}
	/*返回最優值*/
	return c;
}

• 構造最優解

void OutputKnapsackDP(int n,int W,int *Weights,float *Values,int **c){
	int x[n];
	int i;
	for(i=n;i>1;i--){
		
		if(c[i][W]==c[i-1][W])
		/*物品i沒有放入揹包，存0*/
			x[i-1]=0;
		else{
		/*物品i放入揹包，存1*/
			x[i-1]=1;W=W-Weights[i-1];
			}
	}
	
	if(c[1][W]==0)
	/*第一個物品不放入揹包*/
		x[0]=0;
	else
	/*第一個物品放入揹包*/
		x[0]=1;
		
	for(i=0;i<n;i++)
		if(x[i]==1)
		/*打印出放入揹包的物品重量和對應價值*/
			printf("Weigh:%d,Value:%f\n",Weights[i],Values[i]);
}

總結