1 求最長公共子序列問題

1.1 概念

1.1.1 子序列

子序列： 一個序列A ＝ a₁,a₂,…,a_n中任意刪除若干項，剩餘的序列叫做A的一個子序列。也可以認為是從序列A按原順序保留任意若干項得到的序列。

例如：對序列 1,3,5,4,2,6,8,7來說，序列3,4,8,7 是它的一個子序列。 對於一個長度為n的序列，它一共有2ⁿ 個子序列，有(2ⁿ – 1)個非空子序列。

子序列不是子集，它和原始序列的元素順序是相關的。

1.1.2 公共子序列

公共子序列 ： 顧名思義，如果序列C既是序列A的子序列，同時也是序列B的子序列，則稱它為序列A和序列B的公共子序列。

1.1.3 最長公共子序列

A和B的公共子序列中長度最長的（包含元素最多的）叫做A和B的公共子序列。 仍然用序列1,3,5,4,2,6,8,7和序列1,4,8,6,7,5

它們的最長公共子序列是：

1,4,8,7
1,4,6,7

最長公共子序列的長度是4 ,且最長公共子序列不唯一。 最長公共子序列問題就是求序列A= a₁,a₂,…,a_n, 和B = b₁,b₂,…,b_m的一個最長公共子序列。

1.2 求解

用Ax表示序列A的連續前x項構成的子序列，即Ax= a1,a2,……ax, By= b1,b2,……by, 用LCS(x, y)表示它們的最長公共子序列長度，那原問題等價於求LCS(m,n)。 為了方便，用L(x, y)表示Ax和By的一個最長公共子序列。

虛擬碼如下：

for x = 0 to n do
    for y = 0 to m do
        if (x == 0 || y == 0) then 
            LCS(x, y) = 0
        else if (Ax == By) then
            LCS(x, y) = LCS(x - 1, y - 1) + 1
        else 
            LCS(x, y) = max(LCS(x – 1, y), LCS(x, y – 1))
        endif
    endfor
endfor

2 求0-1揹包問題