看了《演算法導論》中文第二版P208的動態規劃求解LCS問題，覺得很贊，但總覺得算導寫得有些晦澀，希望自己能寫得簡單易懂一些，純當鍛鍊了，歡迎指導交流。

      首先，子序列和子串是不一樣的。子串是連續的，而子序列中的元素組成可以是不連續的，但元素的位置下標一定是遞增的。以一個字串S = "abcdef"為例，字串S的一個子串是"abc",'cdef'這種連續的，而子序列可以是"abc"，也可以是"af "，給人的直觀感覺就是用S中的字元拼湊成的，但f一定在a之前。

      我們設有兩個字串X和Y，其中，X={x0, x1, x2, ....xi }，Y={y0, y1, y2, yj }。用lcs(i , j)表示字串X與Y的最長公共子序列的長度。

由動態規劃思想可知，問題的最優解是由子問題的最優解構成的，所以lcs(i,j) 的值與lcs(i-1, j-1), lcs(i-1, j), lcs(i, j-1) 都有一定的關係。

要確定lcs(i,j)的值，首先比較一下xi, yj 的值，有以下2種情況：

1. xi == yj，說明xi與yj 一定在最長公共子序列中，所以lcs (i , j) 是由lcs(i-1,j -1)之前的值決定的，即

     lcs(i,j) = lcs(i-1, j-1) + 1；

2. xi != yj ，設在最長公共子序列中的最後一個值為zk，可能zk == xi，也可能zk == yj，也可能zk與xi, yj的值都不同。

    這3種情況的分析如下：

     a. zk == xi, 那麼最長公共子序列取決於去掉yj的Y字串與X字串的最長公共子序列，

         即lcs(i, j) = lcs(i, j-1)；

     b. 與a同理，若yj在最長公共子序列中，那麼lcs(i, j) = lcs(i - 1, j)；

     c. zk與xi, yj的值都不同，那麼lcs( i, j ) 的值取決於去掉xi的X字串與去掉yj的Y字串的最長公共子序列的長度，即

         lcs(i, j) = lcs( i-1, j-1)。

     結合a,b,c的情況，因為最長公共子序列必有最大的長度，所以

     lcs(i, j) = max ( lcs( i-1, j) , lcs( i, j-1) )。這個公式之所以包含情況c，是因為在情況c下，最長公共子序列的最後一個

     值zk肯定是xi與yj之前的位置上的值，xi 與yj 在這種情況下對最長公共子序列的長度沒有影響力，所以在這種情況下，

      lcs( i-1, j) 和 lcs( i, j-1)都等於lcs (i -1, j -1)，可歸併到公式中。

       因此，我們有：

      當xi == yj 時，lcs(i,j) = lcs(i-1, j-1) + 1；

      當xi != yj 時， lcs(i, j) = max ( lcs( i-1, j) , lcs( i, j-1) )。

        分析完畢，可以練練手了，POJ的1458題正是LCS的題。

       LCS的一般程式碼如下：

int LCS(string sx, string sy)
{
	int sizex = sx.length();
	int sizey = sy.length();

	//建立動態二維陣列
	int **lcs = new int*[sizex];
	for (int i = 0; i < sizex; ++i)
	{	
		lcs[i] = new int[sizey];
	}

	//求解LCS
	int max = 0;
	for (int i = 0; i < sizex; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < sizey; ++j)
		{
			//計算初始值：lcs[0][x]和lcs[x][0]的值
			if (i == 0 || j == 0)
			{
				if (sx[i] == sy[j])
				{
					lcs[i][j] = 1;
				}
				else
				{
					if (i == 0 && j == 0)
						lcs[i][j] = 0;

					else if (i == 0 && j != 0)
						lcs[i][j] = lcs[i][j-1];

					else
                        lcs[i][j] = lcs[i-1][j];
				}

			}
			else  //其他lcs[i][j]的值
			{
				if (sx[i] == sy[j])
					lcs[i][j] = lcs[i-1][j-1] + 1;
				else 
					lcs[i][j] = lcs[i-1][j] > lcs[i][j-1] ? lcs[i-1][j] : lcs[i][j-1];
			}

			if (lcs[i][j] > max) 
				max = lcs[i][j];
		}
	}

	//釋放動態二維陣列
	for (int i = 0; i < sizex; ++i)
	{
		delete[] lcs[i];
	}
	delete[] lcs;

	return max;
}