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問題介紹

??給定一個序列\(X=<x_1,x_2,....,x_m>\)，另一個序列\(Z=<z_1,z_2,....,z_k>\)滿足如下條件時稱為X的子序列：存在一個嚴格遞增的X的下標序列\(<i_1,i_2,...,i_k>\)，對所有的\(j=1,2,...,k\)滿足\(x_{i_j}=z_j.\)
??給定兩個序列\(X\)和\(Y\),如果\(Z\)同時是\(X\)和\(Y\)的子序列，則稱\(Z\)是\(X\)和\(Y\)的公共子序列。最長公共子序列（LCS）問題指的是：求解兩個序列\(X\)和\(Y\)的長度最長的公共子序列。例如，序列\(X=<A,B,C,B,D,A,B>\)

和\(Y=<B,D,C,A,B,A>\)的最長公共子序列為\(<B,C,B,A>\)，長度為4。
??本文將具體闡釋如何用動態規劃法（Dynamic Programming）來求解最長公共子序列（LCS）問題。

算法分析

1. LCS的子結構

??給定一個序列\(X=<x_1,x_2,....,x_m>\)，對\(i=0,1,...,m\)，定義\(X\)的第i前綴為\(X_i=<x_1,x_2,....,x_i>\),其中\(X_0\)為空序列。
??（LCS的子結構）令\(X=<x_1,x_2,....,x_m>\)和\(Y=<y_1,y_2,....,y_n>\)

為兩個序列，\(Z=<z_1,z_2,....,z_k>\)為\(X\)和\(Y\)的任意LCS，則：

1. 如果\(x_m=y_n,\)則\(z_k=x_m=y_n\)且\(Z_{k-1}\)是\(X_{m-1}\)和\(Y_{n-1}\)的一個LCS。
2. 如果\(x_m\neq y_n,\)則\(z_k \neq x_m\)意味著\(Z_{k-1}\)是\(X_{m-1}\)和\(Y\)的一個LCS。
3. 如果\(x_m\neq y_n,\)則\(z_k\neq y_n\)且\(Z_{k-1}\)是\(X\)和\(Y_{n-1}\)的一個LCS。

2. 構造遞歸解

??在求\(X=<x_1,x_2,....,x_m>\)

和\(Y=<y_1,y_2,....,y_n>\)的一個LCS時，需要求解一個或兩個子問題：如果\(x_m=y_n\)，應求解\(X_{m-1}\)和\(Y_{n-1}\)的一個LCS，再將\(x_m=y_n\)追加到這個LCS的末尾，就得到\(X\)和\(Y\)的一個LCS；如果\(x_m\neq y_n\)，需求解\(X_{m-1}\)和\(Y\)的一個LCS與\(X\)和\(Y_{n-1}\)的一個LCS，兩個LCS較長者即為\(X\)和\(Y\)的一個LCS。當然，可以看出，LCS問題容易出現重疊子問題，這時候，就需要用動態規劃法來解決。
??定義\(c[i,j]\)表示\(X_i\)和\(Y_j\)的LCS的長度。如果\(i=0\)或\(j=0\)，則\(c[i,j]=0.\)利用LCS的子結構，可以得到如下公式：

\[ c[i,j]=\left\{ \begin{array}{lr} 0,\qquad 若i=0或j=0\ c[i-1, j-1]+1,\qquad 若i,j>0且x_i=y_j\ \max(c[i, j-1], c[i-1, j]),\qquad 若i,j>0且x_i\neq y_j \end{array} \right. \]

3. 計算LCS的長度

??計算LCS長度的偽代碼為LCS-LENGTH. 過程LCS-LENGTH接受兩個子序列\(X=<x_1,x_2,....,x_m>\)和\(Y=<y_1,y_2,....,y_n>\)為輸入。它將\(c[i, j]\)的值保存在表\(c\)中，同時，維護一個表\(b\)，幫助構造最優解。過程LCS-LENGTH的偽代碼如下：

LCS-LENGTH(X, Y):
m = X.length
n = Y.length
let b[1...m, 1...n] and c[0...m, 0...n] be new table

for i = 1 to m
    c[i, 0] = 0
for j = 1 to n
    c[0, j] = 0

for i = 1 to m
    for j = 1 to n
        if x[i] == y[j]
           c[i,j] = c[i-1, j-1]+1
           b[i,j] = ‘diag‘
           
        elseif c[i-1, j] >= c[i, j-1]
            c[i,j] = c[i-1, j]
            b[i,j] = ‘up‘
            
        else
            c[i,j] = c[i, j-1]
            b[i,j] = ‘left‘
            
return c and b

4. 尋找LCS

??為了尋找\(X\)和\(Y\)的一個LCS， 我們需要用到LCS-LENGTH過程中的表\(b\)，只需要簡單地從\(b[m, n]\)開始，並按箭頭方向追蹤下去即可。當在表項\(b[i,j]\)中遇到一個‘diag‘時，意味著\(x_i=y_j\)是LCS的一個元素。按照這種方法，我們可以按逆序依次構造出LCS的所有元素。偽代碼PRINT-LCS如下：

PRINT-LCS(b, X, i, j):
    if i == 0 or j == 0
        return
    if b[i,j] == ‘diag‘
        PRINT-LCS(b, X, i-1, j-1)
        print x[i]
    elseif b[i,j] == ‘up‘:
        PRINT-LCS(b, X, i-1, j)
    else
        PRINT-LCS(b, X, i, j-1)

程序實現

??有了以上對LCS問題的算法分析，我們不難寫出具體的程序來實現它。下面將會給出Python代碼和Java代碼，供讀者參考。
??完整的Python代碼如下：

import numpy as np

# using dynamic programming to solve LCS problem
# parameters: X,Y -> list
def LCS_LENGTH(X, Y):
    m = len(X) # length of X
    n = len(Y) # length of Y

    # create two tables, b for directions, c for solution of sub-problem
    b = np.array([[None]*(n+1)]*(m+1))
    c = np.array([[0]*(n+1)]*(m+1))

    # use DP to sole LCS problem
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            if X[i-1] == Y[j-1]:
                c[i,j] = c[i-1,j-1]+1
                b[i,j] = ‘diag‘
            elif c[i-1,j] >= c[i, j-1]:
                c[i,j] = c[i-1,j]
                b[i,j] = ‘up‘
            else:
                c[i,j] = c[i,j-1]
                b[i,j] = ‘left‘
    #print(b)
    #print(c)
    return b,c

# print longest common subsequence of X and Y
def print_LCS(b, X, i, j):

    if i == 0 or j == 0:
        return None
    if b[i,j] == ‘diag‘:
        print_LCS(b, X, i-1, j-1)
        print(X[i-1], end=‘ ‘)
    elif b[i,j] == ‘up‘:
        print_LCS(b, X, i-1, j)
    else:
        print_LCS(b, X, i, j-1)

X = ‘conservatives‘
Y = ‘breather‘

b,c = LCS_LENGTH(X,Y)
print_LCS(b, X, len(X), len(Y))

輸出結果如下：

e a t e 

??完整的Java代碼如下：

package DP_example;

import java.util.Arrays;
import java.util.List;

public class LCS {
    // 主函數
    public static void main(String[] args) {
        // 兩個序列X和Y
        List<String> X = Arrays.asList("A","B","C","B","D","A","B");
        List<String> Y = Arrays.asList("B","D","C","A","B","A");

        int m = X.size(); //X的長度
        int n = Y.size(); // Y的長度
        String[][] b = LCS_length(X, Y); //獲取維護表b的值

        print_LCS(b, X, m, n); // 輸出LCS
    }

    /*
    函數LCS_length：獲取維護表b的值
    傳入參數： 兩個序列X和Y
    返回值： 維護表b
     */
    public static String[][] LCS_length(List X, List Y){
        int m = X.size(); //X的長度
        int n = Y.size(); // Y的長度
        int[][] c = new int[m+1][n+1];
        String[][] b = new String[m+1][n+1];

        // 對表b和表c進行初始化
        for(int i=1; i<m+1; i++){
            for(int j=1; j<n+1; j++){
                c[i][j] = 0;
                b[i][j] = "";
            }
        }
        
        // 利用自底向上的動態規劃法獲取b和c的值
        for(int i=1; i<m+1; i++){
            for(int j=1; j<n+1; j++){
                if(X.get(i-1) == Y.get(j-1)){
                    c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;
                    b[i][j] = "diag";
                }
                else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]){
                    c[i][j] = c[i-1][j];
                    b[i][j] = "up";
                }
                else{
                    c[i][j] = c[i][j-1];
                    b[i][j] = "left";
                }
            }
        }

        return b;
    }

    // 輸出最長公共子序列
    public static int print_LCS(String[][] b, List X, int i, int j){

        if(i == 0 || j == 0)
            return 0;

        if(b[i][j].equals("diag")){
            print_LCS(b, X, i-1, j-1);
            System.out.print(X.get(i-1)+" ");
        }
        else if(b[i][j].equals("up"))
            print_LCS(b, X, i-1, j);
        else
            print_LCS(b, X, i, j-1);

        return 1;
    }
}

輸出結果如下：

B C B A 

參考文獻

1. 算法導論（第三版） 機械工業出版社
2. https://www.geeksforgeeks.org/longest-common-subsequence/

註意：本人現已開通兩個微信公眾號： 因為Python（微信號為：python_math）以及輕松學會Python爬蟲（微信號為：easy_web_scrape）， 歡迎大家關註哦~~

動態規劃法（十）最長公共子序列（LCS）問題