接觸了很多的0-1揹包的問題，這個問題是動態規劃的經典題，總結一下，加深自己的印象，也

為大家做個參考，對blog有問題可以直接評論，我會盡快的回答！

題目：有N件物品和一個容量為V的揹包，第i件物品的體積w[i]，價值是c[i],求解將那些物品裝入揹包

可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且使揹包內的物品價值總和最大！

F[i][w]----對於前i物品而言，使體積為w的揹包內物品價值總和最大，最大的價值為F[i][w].

下面這個方程為整個揹包問題的核心：

F[i][w]=max{ F[i-1][w]  ,  F[i-1][w-w[i]]+c[i]  } 

對於第i件物品，你可以選擇把它裝入揹包，還可以選擇前i-1件物品對於體積為w的揹包的最優解，

選擇其中的最大值,就是F[i][w]的值了！

話不多說，直接上程式碼，更加清楚得了解！

程式碼1：

#include<iostream> 
using namespace std;

int F[100][100]; //定義一個二維陣列
int w[100]; //體積陣列
int c[100];  //價值陣列
int n;   //物品總數
int V;  //揹包的體積 

int max(int a,int b);

int main() 
 {
 	
 	while(cin>>n&&cin>>V)
 	{
 	 int i,j; 
 	 
 	 for(i=1;i<=n;i++)//初始化資料 
 	   cin>>w[i]>>c[i];  
     
	 for(i=1;i<=n;i++)		
	  for(j=1;j<=V;j++)
	   if(j>w[i]) 
	  F[i][j]=max(F[i-1][j],F[i-1][j-w[i]]+c[i]);
	  else F[i][j]=F[i-1][j];
 	  cout<<F[n][V];
 	}
 }
int max(int x,int y)
 {
 	
 	return x>y?x:y;
 }
 

必須減少時間複雜度，可以從優化空間的角度來看這個問題！

可以用一個滾動陣列來代替二維陣列，讓陣列動起來，

如果你認真看了程式碼1,程式碼2就比較簡單的理解！

程式碼2：

#include<iostream> 
using namespace std;

int F[100]; //定義一個一維陣列
int w[100]; //體積陣列
int c[100];  //價值陣列
int n;   //物品總數
int V;  //揹包的體積 

int max(int a,int b);

int main() 
 {
 	
 	while(cin>>n&&cin>>V)
 	{
 	 int i,j; 
 	 
 	 for(i=1;i<=n;i++)//初始化資料 
 	   cin>>w[i]>>c[i];  
     
	 for(i=1;i<=n;i++)		
	  for(j=V;j>=w[i];j--)//從V開始，這是個技巧，我在這就走了很多彎路，有興趣的同學可以思考                                 一下 
	    
	  F[j]=max(F[j],F[j-w[i]]+c[i]);
	  
 	  cout<<F[V];
 	}
 }
int max(int x,int y)
 {
 	
 	return x>y?x:y;
 }
 

另外我想說的是，大家可以換個角度思考問題，可以從物品的價值著手！而不是從物品的重量，在某些

特定的條件下，這個是很好用的！

F[i][c]------對於前i物品而言，使揹包裝上c價值的物品，所需的最小體積！

核心方程：

 F[i][c] = min { F[i-1][c] , F[i-1][c-c[i]] + w[i]  }

對於第i件物品，你可以選擇把它裝入揹包，還可以選擇前i-1件物品對於裝入價值為c的

揹包的最小體積的最優解，

問題得到了解決！

程式碼3：

#include<iostream> 
using namespace std;

int w[100];//體積
int v[100];//價值
int F[100];//一維陣列
int Getdata(long int n);//輸入資料
int newdata();//初始化陣列
int min(int a,int b);
int main()
 {
    int n;
    int W;
   while(cin>>n&&cin>>W)
   {
  	 Getdata(n);
  	 newdata();
  	 int i,j;
  	 int max=0;
  	 int vm=0;//暫存價值的大小
  	 for(i=1;i<=n;i++)//為了時間複雜度的考慮我用了滾動陣列
  	 {
  	   vm=vm+v[i];
  	   for(j=vm;j>=1;j--)   
		 if(j>v[i])	
  	   	 F[j]=min(F[j],F[j-v[i]]+w[i]);	 
  	   	 else F[j]=min(F[j],w[i]);   	 
         }
    for(i=1;i<=vm;i++)//找出體積為V的C最大的那個元素
    {
       if((F[i]<=W)&&(i>max)) 
         max=i;       
    }
   cout<<max<<endl;
    }
  return 1;
  } 
int Getdata( int n)
 {
   int i;
   for(i=1;i<=n;i++)
    cin>>w[i]>>v[i];
    return 1;
 }
int newdata()//把陣列初始化為最大值
{
  int i;
  for(i=0;i<100;i++)	
   F[i]=10000;
   return 1;
}
int min(int a,int b)
{
  if(a>b) return b;
  else return a;
}

大家有興趣的話可以做一下這道題：0-1揹包實戰題