這學期開的演算法課,感覺好難,光這個問題就弄了好久,我這裡的程式碼非本人原創程式碼,都是借鑑網上的程式碼按自己的理解加以改進的,原網頁地址

為http://www.cnblogs.com/qinyg/archive/2012/04/26/2471829.html

問題描述：

給定N中物品和一個揹包。物品i的重量是W_i,其價值位V_i ，揹包的容量為C。問應該如何選擇裝入揹包的物品，使得轉入揹包的物品的總價值為最大？？

在選擇物品的時候，對每種物品i只有兩種選擇，即裝入揹包或不裝入揹包。不能講物品i裝入多次，也不能只裝入物品的一部分。因此，該問題被稱為0-1揹包問題。 

問題分析：令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)個物品中能夠裝入容量為就j(1<=j<=C)的揹包中的物品的最大價值，則可以得到如下的動態規劃函式:

(1)   V(i,0)=V(0,j)=0 

(2)   V(i,j)=V(i-1,j)  j<w_i  

       V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-w_i)+v_i) } j>w_i

(1)式表明：如果第i個物品的重量大於揹包的容量，則裝人前i個物品得到的最大價值和裝入前i-1個物品得到的最大價是相同的，即物品i不能裝入揹包；第(2)個式子表明:如果第i個物品的重量小於揹包的容量，則會有一下兩種情況：(a)如果把第i個物品裝入揹包，則揹包物品的價值等於第i-1個物品裝入容量位j-w_i 的揹包中的價值加上第i個物品的價值v_i; (b)如果第i個物品沒有裝入揹包，則揹包中物品價值就等於把前i-1個物品裝入容量為j的揹包中所取得的價值。顯然，取二者中價值最大的作為把前i個物品裝入容量為j的揹包中的最優解。

01揹包的狀態轉換方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

#include<stdio.h>
int V[200][200];//前i個物品裝入容量為j的揹包中獲得的最大價值
int max(int a,int b)
{
   if(a>=b)
       return a;
   else return b;
}

int KnapSack(int n,int w[],int v[],int x[],int C)
{
    int i,j;
	//填表,其中第一行和第一列全為0
    for(i=0;i<=n;i++)
        V[i][0]=0;
    for(j=0;j<=C;j++)
        V[0][j]=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
	{
		printf("%d  %d  %d  ",i,w[i-1],v[i-1]);
        for(j=1;j<=C;j++)
		{
            if(j<w[i-1])
			{
				V[i][j]=V[i-1][j];
				printf("[%d][%d]=%2d  ",i,j,V[i][j]);
			}
			
            else
			{
                V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]);
				printf("[%d][%d]=%2d  ",i,j,V[i][j]);
			}
		}
		printf("\n");
	}
	//判斷哪些物品被選中
            j=C;
            for(i=n;i>=1;i--)
            {
            if(V[i][j]>V[i-1][j])
                {
					x[i]=1;
					j=j-w[i-1];
                }
            else
                x[i]=0;
            }
            printf("選中的物品是:\n");
            for(i=1;i<=n;i++)
                printf("%d ",x[i]);
            printf("\n");
        return V[n][C];
        
}

void main()
{
    int s;//獲得的最大價值
    int w[15];//物品的重量
    int v[15];//物品的價值
    int x[15];//物品的選取狀態
    int n,i;
    int C;//揹包最大容量
    n=5;
    printf("請輸入揹包的最大容量:\n");
    scanf("%d",&C);
    
    printf("輸入物品數:\n");
    scanf("%d",&n);
    printf("請分別輸入物品的重量:\n");
    for(i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&w[i]);

    printf("請分別輸入物品的價值:\n");
    for(i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&v[i]);

    s=KnapSack(n,w,v,x,C);

    printf("最大物品價值為:\n");
    printf("%d\n",s);
   
    
}