最近刷題時碰到了動態規劃的問題，最開始覺得很難，無從下手，研究了一下動態規劃問題，覺得很神奇，做點兒筆記記錄下。
結合具體的問題來理解比單獨研究理論更形象一些。

問題：

要從物品重量為[2,3,5,5,10,2,8]的7個物體中選擇幾個物體放入容量為15的揹包，恰好放滿，總共有幾種方案？

動態規劃理論：

採用動態規劃的方法來做這樣的問題比較合適，動態規劃採用空間換時間的策略，對於把大的問題換成小的問題，而小的問題中又相互關聯的一類問題效果很好。本題中就有這樣 的特徵。
此處理論分析來自這裡：https://www.cnblogs.com/variance/p/6909560.html

圖片中abc三個公式詳細解析：
a)式表示前

i$i$個物品中挑選放入承重為0的揹包中和沒有物品放入承重為j$j$的揹包中是相等為0。
b)式表明：如果第i$i$個物品的重量大於揹包的容量，則裝人前i$i$個物品得到的最大價值和裝入前i−1$i-1$個物品得到的最大價值是相同的，即物品i$i$不能裝入揹包。
c)式表明：如果第i$i$個物品的重量小於揹包的容量，則會有一下兩種情況：
(1)如果把第i$i$個物品裝入揹包，則揹包物品的價值等於第i−1$i-1$個物品裝入容量位j−Wi$j-W_i$ 的揹包中的價值加上第i$i$個物品的價值Vi$V_i$;
(2)如果第i$i$個物品沒有裝入揹包，則揹包中物品價值就等於把前i−1$i-1$個物品裝入容量為j$j$的揹包中所取得的價值。
顯然，取二者中價值最大的作為把前

i$i$個物品裝入容量為j$j$的揹包中的最優解。

具體做法

生成一個7行15+1列的二維陣列由於儲存大動態規劃的結果；其中的列代表揹包重量依次為0-15,每一行代表一個物品的重量。
對於每個物體，如果物體的重量大於揹包的最大容積，則該物體不能裝入揹包，只能使用前面的物體來裝填揹包；
如果物體的重量小於揹包的最大容積，比較該物體放入揹包和為放入揹包的最大價值值，取最大的；

#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;
#define SUM_MAX 1000
int dp[SUM_MAX][SUM_MAX];

template
 
<typename T>
T max(const T& a, const T& b)
{
    if (a > b)return a;
    else return b;
}

int dpCal(int n, int sum, vector<int>& A)
{
    for (int i = 0; i <n; i++)
    {
        dp[i][0] = 1;//將物品i裝入容量為0的揹包的方法只有一種，即不放入物品，所以設定為1
    }
    for (int j = 1; j <= sum; j++)
    {
        dp[0][j] = 0;//將第一行的1-sum列設定為0
    }
    dp[0][A[0]] = 1;//將重量為A[0]的第一個物品放入容量為A[0]的揹包只有一種方法，所以設定為1
    for (int i = 1; i <n; i++)//對第一個物品已經處理完畢，只需要從從第二個物品開始迴圈
    {
        for (int j = 0; j <= sum; j++)//對每個容量為j的揹包進行處理
        {
            if (A[i]>j)
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];//當物品i的重量大於揹包的容量時，裝不下該物品，裝入之前的物品
            else
                //當物品i的重量小於揹包的容量時，比較裝入該物品時與不裝入該物品時的價值大小(本題的每個物體價值可以認為是1),取最大的值。
                dp[i][j] = max<int>(dp[i - 1][j],dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - A[i]]);
        }
    }
    return dp[n-1][sum];
}

int main()
{
    int n, sum;
    cin >> n >> sum;
    if (sum > SUM_MAX)exit(1);
    vector<int> A(n, 0);
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> A[i];
    }
    int method = 0;
    method = dpCal(n, sum, A);
    printf("動態規劃表：\n");
    for (int i = 0; i <n; i++)
    {
        for (int j = 0; j <= sum; j++)
        {
            printf("%-4d", dp[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

    printf("\n可用的方法數：%3d\n",method);

    system("pause");
    return 0;
}

輸入:
7 15
5 5 10 2 3 4 6
輸出：