給定n個物品和一個揹包。物品i的重量為wi，價值為vi，揹包容量為c。問如何選擇裝入揹包中的物品，使得裝入揹包的物品的價值最大？在裝入揹包時，每種物品i只有兩種選擇，裝入或者不裝入，既不能裝入多次，也不能只裝入一部分。

因此，此問題稱為0-1揹包問題.0-1揹包問題是一個特殊的整數規劃問題。

輸入：物品的數目n，揹包的容量c。各個物品的重量wi，各個物品的價值vi。

輸出：裝入揹包的最大價值。各個物品是否裝入揹包，裝入輸出1，不裝入輸出0.

執行結果：

0-1揹包問題的形式描述：

•問題的形式描述是：給定c＞0，wi＞0，vi＞0，1≤i≤n，求n元0-1向量(x1, x2, …

揹包問題的最優子結構性質：

•設(y1, y2, …, yn)是所給0-1揹包問題的一個最優解，則(y2, …, yn)是下面對應問題的最優解：

n否則，設(z2, …, zn)是最優解，則(y1, z2, …, zn)是原問題的最優解，而(y1, y2, …, yn)不是最優解。矛盾.、

•設所給0-1揹包問題的子問題

其最優解為m(i, j)，即揹包容量為j，可選擇物品為i, i+1, …, n時0-1揹包問題的最優解，則

0-1揹包問題的遞迴演算法：

•用二維陣列m[i][j], 0≤j≤c, 儲存m(i, j)的值。

•求解

•而m[1][c]中的值就是該揹包問題的解。

在二維陣列m中最先填入的應該是哪些呢？

二維陣列m中最先填入只能選擇物品n的最優解m(n, j)：

若0≤j＜wn，m[n][j]=0；

 若   j≥wn，m[n][j]=vn。

n然後從物品n–1到物品1逐個填入它們的最優解m(i, j)：

n若0≤j＜wi，m[i][j]= m[i+1][j]; 

n若j≥wi，   m[i][j]=max{m[i+1][j], m[i+1][j–wi]+vi}

template <class Type>
void Knapsack(Type *v, int *w, int c, int n, Type m[][maxn])
{
    int i, j, jMax;

    jMax = min(w[n]-1, c);
    for(j = 0; j <= jMax; j++)
        m[n][j] = 0;
    for(j = w[n]; j <= c; j++)
        m[n][j] = v[n];
    for(i = n-1; i > 1; i--)
    {
        jMax = min(w[i]-1, c);
        for(j = 0; j <= jMax; j++)
            m[i][j] = m[i+1][j];
        for(j = w[i]; j <= c; j++)
            m[i][j] = max(m[i+1][j], m[i+1][j-w[i]] + v[i]);
    }

    m[1][c] = m[2][c];
    if(c >= w[1])
        m[1][c] = max(m[2][c], m[2][c-w[1]] + v[1]);
}
 

演算法Traceback計算相應的最優解：

若m[1][c]=m[2][c]，則x1=0,否則x1=1.

當x1=0時，由m[2][c]繼續構造最優解。當x1=1時，由m[2][c-w1]繼續構造最優解。依次類推，可構造出相應的最優解(x1,x2,.....xn)

template <class Type>
void Traceback(Type m[][maxn], int *w, int c, int n, int *x)
{
    int i;

    for(i = 1; i < n; i++)
    {
        if(m[i][c] == m[i+1][c])
            x[i] = 0;
        else
        {
            x[i] = 1;
            c -= w[i];
        }
    }

    x[n] = (m[n][c])? 1:0;
}

0-1揹包問題演算法的複雜性:

•從演算法中可以看出，對每個物品i要填入m[i][1], m[i][2], …, m[i][c]，n個物品共要填寫nc個，因此整個演算法的時間複雜性是O(nc)。

•此演算法在揹包容量c很大時所需的計算時間量很大。如c=2n，則演算法的複雜性為O(n2n)。

•演算法的不足：要求物品的重量wi是整數，而不能為實數。