【經典】動態規劃
阿新 • • 發佈：2017-11-06
答案 意思 行修改 優化 待修改 最長 長度 u+ mem
表示到第i個數有沒有進行修改
擴展到二維：求待修改的最大子矩陣
for(int tu=1;tu<=n;tu++){
for(int i=1;i<=m;i++)mn[i]=map[tu][i];
for(int i=1;i<=m;i++)a[i]=sum[td][i]-sum[tu][i];
dp[0][1]=-inf;
for(int i=1;i<=m;i++){
dp[i][0]=max(dp[i-1][0]+a[i],a[i]);
dp[i][1]=max(max(dp[i-1][1]+a[i],a[i]-mn[i]+p),dp[i-1][0]+p+a[i]);
}
}
3)數塔問題（數字三角形）遞推
4)01背包：
題目描述：n個物品，m為背包容量，wi為物品重量，vi為物品價值
每個物品只有一個
轉移方程：
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=m;j>=wi;j--)
f[j]=max(f[j],f[j-wi]+vi);
01的意思是該物品只有拿和被那兩種狀態
5)最長上升子序列
轉移方程：
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<i;j++)
if(a[i]>a[j])
f[i]=max(f[i],f[j+1]);
註意f數組初始化為1
時間復雜度是O(n^2),可以優化。
memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int p=upper_bound(dp+1,dp+n+1,a[i])-dp;
if(a[i]!=dp[p-1])//嚴格上升序列
dp[p]=a[i];
}
for(int i=1;i<=n+1;i++)
if(dp[i]==maxn)
{
printf("%d\n",i-1);
return 0;
}
dp[i]表示長度為i的最後一個數
時間復雜度O(nlogn)
五道經典動態規劃問題
1)最大子序列和
題目描述：一個序列，選和最大的子序列
轉移方程：sum[i]=max{sum[i-1]+a[i],a[i]}
當前元素的狀態是：自己單獨一組還是並到前面
最後的答案max{sum[i]}
擴展到二維：最大子矩陣
方法一：而為前綴和 取max
sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j]
方法二：二維RMQ
方法三:記錄每列的前綴和，枚舉子矩陣的上下邊界
2)最大修改子序列
題目描述：一個序列，可以修改一次，假設a[i]-->p
轉移方程：
f[i][0]=max{f[i-1][0]+a[i],a[i]}
f[i][1]=max{f[i-1][1]+a[i],f[i-1][0]+p,p}
表示到第i個數有沒有進行修改
擴展到二維：求待修改的最大子矩陣
for(int tu=1;tu<=n;tu++){
for(int i=1;i<=m;i++)mn[i]=map[tu][i];
for(int i=1;i<=m;i++)a[i]=sum[td][i]-sum[tu][i];
dp[0][1]=-inf;
for(int i=1;i<=m;i++){
dp[i][0]=max(dp[i-1][0]+a[i],a[i]);
dp[i][1]=max(max(dp[i-1][1]+a[i],a[i]-mn[i]+p),dp[i-1][0]+p+a[i]);
}
}
3)數塔問題（數字三角形）遞推
4)01背包：
題目描述：n個物品，m為背包容量，wi為物品重量，vi為物品價值
每個物品只有一個
轉移方程：
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=m;j>=wi;j--)
f[j]=max(f[j],f[j-wi]+vi);
01的意思是該物品只有拿和被那兩種狀態
5)最長上升子序列
轉移方程：
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<i;j++)
if(a[i]>a[j])
f[i]=max(f[i],f[j+1]);
註意f數組初始化為1
時間復雜度是O(n^2),可以優化。
memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int p=upper_bound(dp+1,dp+n+1,a[i])-dp;
if(a[i]!=dp[p-1])//嚴格上升序列
dp[p]=a[i];
}
for(int i=1;i<=n+1;i++)
if(dp[i]==maxn)
{
printf("%d\n",i-1);
return 0;
}
dp[i]表示長度為i的最後一個數
時間復雜度O(nlogn)
【經典】動態規劃