漫談遞迴：迴圈與迭代

 理清遞迴、迭代、迴圈的概念

先摘抄“為之漫筆”對這幾個概念的一段理解：

loop、iterate、traversal和recursion這幾個詞是計算機技術書中經常會出現的幾個詞彙。眾所周知，這幾個詞分別翻譯為：迴圈、迭代、遍歷和遞迴。乍一看，這幾個詞好像都與重複（repeat）有關，但有的又好像不完全是重複的意思。那麼這幾個詞到底各是什麼含義，有什麼區別和聯絡呢？下面就試著解釋一下。

• 迴圈（loop），指的是在滿足條件的情況下，重複執行同一段程式碼。比如，while語句。
• 迭代（iterate），指的是按照某種順序逐個訪問列表中的每一項。比如，for語句。
• 遍歷（traversal），指的是按照一定的規則訪問樹形結構中的每個節點，而且每個節點都只訪問一次。
• 遞迴（recursion），指的是一個函式不斷呼叫自身的行為。比如，以程式設計方式輸出著名的斐波納契數列。

有了以上定義，這幾個概念之間的區別其實就比較清楚了。至於它們之間的聯絡，嚴格來講，它們似乎都屬於演算法的範疇。換句話說，它們只不過是解決問題的不同手段和方式，而本質上則都是計算機程式設計中達成特定目標的途徑。

迭代

迭代演算法是用計算機解決問題的一種基本方法。它利用計算機運算速度快、適合做重複性操作的特點，讓計算機對一組指令（或一定步驟）進行重複執行，在每次執行這組指令（或這些步驟）時，都從變數的原值推出它的一個新值。

利用迭代演算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作：

1. 確定迭代變數。在可以用迭代演算法解決的問題中，至少存在一個直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變數，這個變數就是迭代變數。
2. 建立迭代關係式。所謂迭代關係式，指如何從變數的前一個值推出其下一個值的公式(或關係)。迭代關係式的建立是解決迭代問題的關鍵，通常可以使用遞推或倒推的方法來完成。
3. 對迭代過程進行控制。在什麼時候結束迭代過程?這是編寫迭代程式必須考慮的問題。不能讓迭代過程無休止地重複執行下去。迭代過程的控制通常可分為兩種情況：一種是所需的迭代次數是個確定的值，可以計算出來;另一種是所需的迭代次數無法確定。對於前一種情況，可以構建一個固定次數的迴圈來實現對迭代過程的控制;對於後一種情況，需要進一步分析出用來結束迭代過程的條件。

可以用迭代的演算法有很經典的問題，比如兔子產子問題：假定你有一雄一雌一對剛出生的兔子，它們在長到一個月大小時開始交配，在第二月結束時，雌兔子產下另一對兔子，過了一個月後它們也開始繁殖，如此這般持續下去。每隻雌兔在開始繁殖時每月都產下一對兔子，假定沒有兔子死亡，在一年後總共會有多少對兔子？

還有上樓梯的走法問題：有一段樓梯有10級臺階，規定每一步只能跨一級或兩級，要登上第10級臺階有幾種不同的走法？

這兩個問題可以參看以前寫的一篇文章：趣味演算法之兔子產子問題

迭代與迴圈

先從字面上看：

• 迭代：“迭”：輪流，輪番，替換，交替，更換。“代”：代替。所以迭代的意思是：變化的迴圈，這種變化就是輪番代替，輪流代替。
• 迴圈：不變的重複。

個人認為迭代是迴圈的一種，迴圈體程式碼分為固定迴圈體，和變化的迴圈體。

固定的迴圈舉例：

實現迭代：

上面的迭代是常見的遞增式迭代。類似的還有遞減式迭代，遞乘式迭代。

迭代的好處：迭代減少了冗餘程式碼，提高了程式碼的利用率和動態性。

迴圈、迭代與遞迴

1. 遞迴演算法與迭代演算法的設計思路區別在於：函式或演算法是否具備收斂性，當且僅當一個演算法存在預期的收斂效果時，採用遞迴演算法才是可行的，否則，就不能使用遞迴演算法。

當然，從理論上說，所有的遞迴函式都可以轉換為迭代函式，反之亦然，然而代價通常都是比較高的。但從演算法結構來說，遞迴宣告的結構並不總能夠轉換為迭代結構，原因在於結構的引申本身屬於遞迴的概念，用迭代的方法在設計初期根本無法實現，這就像動多型的東西並不總是可以用靜多型的方法實現一樣。這也是為什麼在結構設計時，通常採用遞迴的方式而不是採用迭代的方式的原因，一個極典型的例子類似於連結串列，使用遞迴定義及其簡單，但對於記憶體定義(陣列方式)其定義及呼叫處理說明就變得很晦澀，尤其是在遇到環鏈、圖、網格等問題時，使用迭代方式從描述到實現上都變得很不現實。

2. 遞迴其實是方便了程式設計師難為了機器。它只要得到數學公式就能很方便的寫出程式。優點就是易理解，容易程式設計。但遞迴是用棧機制實現的，每深入一層，都要佔去一塊棧資料區域，對巢狀層數深的一些演算法，遞迴會力不從心，空間上會以記憶體崩潰而告終，而且遞迴也帶來了大量的函式呼叫，這也有許多額外的時間開銷。所以在深度大時，它的時空性就不好了。

迴圈其缺點就是不容易理解，編寫複雜問題時困難。優點是效率高。執行時間只因迴圈次數增加而增加，沒什麼額外開銷。空間上沒有什麼增加。

3. 區域性變數佔用的記憶體是一次性的，也就是O(1)的空間複雜度，而對於遞迴（不考慮尾遞迴優化的情況），每次函式呼叫都要壓棧，那麼空間複雜度是O(n)，和遞迴次數呈線性關係。

4. 遞迴程式改用迴圈實現的話，一般都是要自己維護一個棧的，以便狀態的回溯。如果某個遞迴程式改用迴圈的時候根本就不需要維護棧，那其實這個遞迴程式這樣寫只是意義明顯一些，不一定要寫成遞迴形式。但很多遞迴程式就是為了利用函式自身在系統棧上的auto變數記錄狀態，以便回溯。

原理上講，所有遞迴都是可以消除的，代價就是可能自己要維護一個棧。而且我個人認為，很多情況下用遞迴還是必要的，它往往能把複雜問題分解成更為簡單的步驟，而且很能反映問題的本質。

遞迴其實就是利用系統堆疊，實現函式自身呼叫，或者是相互呼叫的過程。在通往邊界的過程中，都會把單步地址儲存下來，知道等出邊界，再按照先進後出的進行運算，這正如我們裝木桶一樣，每一次都只能把東西方在最上面，而取得時候，先放進取的反而最後取出。遞迴的資料傳送也類似。但是遞迴不能無限的進行下去，必須在一定條件下停止自身呼叫，因此它的邊界值應是明確的。就向我們裝木桶一樣，我們不能總是無限制的往裡裝，必須在一定的時候把東西取出來。比較簡單的遞迴過程是階乘函式，你可以去看一下。但是遞迴的運算方法，往往決定了它的效率很低，因為資料要不斷的進棧出棧。

但是遞迴作為比較基礎的演算法，它的作用不能忽視。