性能用ASL（查找成功時的平均查找長度）來衡量

線性表檢索

順序檢索

• 逐個比較
• 優點：插入元素可以直接加在表尾
• 缺點：檢索時間太長

二分檢索法

• 條件：序列必須有序
• 實現：

   1 template <class Type> int BinSearch (vector<Item<Type>*>& dataList, int length, Type k){
   2     int low=1, high=length, mid;
   3     while (low<=high) { //結束條件！！
   4         mid = (low+high)/2
   
  ;
   5         if (k<dataList[mid]->getKey())
   6             high = mid-1; //右縮檢索區間
   7         else if (k>dataList[mid]->getKey())
   8             low = mid+1; //左縮檢索區間
   9         else return mid; //成功返回位置
  10     }
  11     return 0;
  12 } //檢索失敗，返回0

• 性能分析：最大檢索長度（完全二叉樹的高度）：$log_2^{n+1}$；失敗的檢索長度$log_2^{n+1}$向上或向下取整；平均的檢索長度和最大檢索長度接近：$log_2^{n+1}-1$
• 優點：快
• 缺點：要排序，不易更新

分塊檢索

• 思想：兩級檢索。將元素分為多塊，塊內的關鍵碼不一定有序，但塊間有序（前塊中最大關鍵碼<後塊中最小關鍵碼）；索引表中包含每個塊最大的關鍵碼和起始位置，以及每個塊裏元素的個數。
• 性能：查找長度是兩級檢索的查找長度總和
• 優點：更新容易
• 缺點：
• 需要一個輔助索引表
• 分塊需要排序
• 元素分布不均勻、大量插入或刪除時性能下降

散列表檢索（HASH）

基本概念

• 帶檢索的關鍵碼K
• 散列函數h(K)：關鍵碼K的存儲位置
• 負載（裝填）因子：$α=\frac{n}{M}$（n，散列表中已有結點數；M，散列表空間大小）
• 沖突：將不同關鍵碼映射到相同散列地址
• 同義詞：發生沖突的兩個關鍵碼

各類方法

除余法

• $h(x)=x mod M$
• M值通常選擇質數，有利於均勻分布
• 潛在缺點：連續的關鍵碼映射為連續的散列值，散列性能降低

乘余取整法

• $h(x)=n*(A*key\% 1)$

平方取中法

• 求關鍵碼的平方，再取其中的幾位或其組合作為散列地址
• 最接近隨機化

數字分析法

• 分析每一位上不同符號出現頻率，選取其中各種符號均勻分布的若幹位作為散列地址

基數轉換法

• 把關鍵碼看成是另一進制上的數後，再把它轉換成原來進制上的數。取其中若幹位作為散列地址
• 一般取大於原來基數的數作為轉換的基數，並且兩個基數要互素。

折疊法

• 將關鍵碼分割為位數相同的幾部分，取這幾部分的疊加和（舍去進位）作為散列地址。
• 兩種疊加方法：移位疊加（各部分以最後一位對齊）；分界疊加（沿各部分的分界來回折疊，對齊相加）

沖突的解決方法

開散列方法

拉鏈法（適用於內存）

• 思路：所有同義詞鏈接在同一鏈表，以拉鏈狀拉開。每個槽定義為一個鏈表的表頭。
• 這時候α可以大於1，但一般還是取小於1
• 優點：適合表長不確定的情況，增刪結點容易。
• 缺點：如果散列表元素在磁盤裏，拉鏈法不適用。
  • 同義詞表中的元素元素在不同的磁盤頁中的話，檢索一個特定關鍵碼時將引起多次磁盤訪問，增加檢索時間

桶式散列（適合存儲於磁盤的散列表）

• 思想：散列文件記錄分為若幹桶，每個桶包含幾個頁塊，每個頁塊有若幹記錄，各頁塊用指針鏈接。h(k)表示具有關鍵碼K的記錄所在桶號。
• 性能：桶目錄表最多一次訪外，逐個檢查桶內頁塊，平均訪外次數為桶內頁塊數一半。修改、插入等需另1次訪外寫外存。

閉散列方法（開地址法）

基本聚集：堆積，散列地址不同的記錄，爭奪同一後繼散列地址，導致很長的探查序列，偽隨機探查和二次探查可以消除基本聚集

二級聚集：如果兩個關鍵碼散列到同一基地址還是得到同一探查序列。

• 把發生沖突的關鍵碼存儲在散列表中另一個空地址內
• $d_0=h(K)$為K的基地址
• $d_i=d_0+p(K,i)$是後繼散列地址，p(K,i)是探查函數
• 搜索空位時，若基地址結點已被占用，逐個尋找探查序列中的空閑位置。如果找遍了都沒有，說明列表滿了，報告溢出。

線性探查法

• 思想：逐個逐個往後找……$p(K,i)=i$
• 優點：所有的存儲位置都可以作為插入記錄的候選
• 缺點：聚集
• 改進：每次跳過c個槽而不是1個
  • 第i個槽是$(h(K)+ic)mod M$，探查函數是$p(K,i)=i*c$
  • 基位置相鄰點記錄不會進入同一個探查序列
  • 但相隔c的還是糾纏在一起

二次探查

• 地址公式：$d_{2i-1}=(d+i^2)%M;d_{2i}=(d-i^2)%M$
• 探查函數：$p(K,2i-1)=i*i;p(K,2i)=-i*i$
• 基本聚集消失

偽隨機數序列探查

• 探查函數$p(K,i)=perm[i-1]$
  
  • perm是一個長度為M-1的數組，一個值在[1,M-1]的隨機序列
• 基本聚集消失

雙散列探查法

• 思想：使用兩個散列函數$h_1$和$h_2$
• 若在$h_1(K)=d$發生沖突，計算h_2(K)得到的探查序列為探查序列：$d_i=(d+i*h_2(key))%M$
  • $(d+h_2(K))\% M$
  • $(d+2h_2(K))\% M$
  • $(d+3h_2(K))\% M$…
• 探查函數：$p(K,i)=i*h_2(K)$
• $h_2(K)$必須與M互素（否則可能會發生同義詞地址的循環計算）
• 優點：不易產生聚集
• 缺點：計算量增大（也不是很大）

閉散列的算法設計

• 插入
  • 找到基地址空間
  • 基地址空間不空，循環找下一個探查序列直到關鍵碼值相同或找到空位
• 檢索
  • 基地址空間未被占用，檢索失敗，否則將在基地址中的值和K比較，相等則成功。
  • 否則查找探查序列循環。直到找到相等關鍵碼或未被占用的地址空間。
• 刪除
  • 開散列可以隨意刪除
  • 閉散列只能作標記，不能真正刪除，除非之後再次分配空間。不然會影響檢索操作
    • 設置一特殊的標記位（墓碑）：單元被占用\空單元\已刪除
    • 插入時遇到墓碑，要繼續沿著探查序列找到真正空位，為了防止插入兩個相同的關鍵碼
    • 效率分析：不依賴於n，與α有關。α小時性能高。$α\leq 0.5$時，大部分操作的分析預期代價都小於2。負載因子的臨界值是0.5，超過性能就會急劇下降。
    • 

【復習筆記】數據結構-檢索