樣本方差的無偏估計與（n-1）的由來
一、無偏估計
所謂總體引數估計量的無偏性指的是，基於不同的樣本，使用該估計量可算出多個估計值，但它們的平均值等於被估引數的真值。
在某些場合下，無偏性的要求是有實際意義的。例如，假設在某廠商與某銷售商之間存在長期的供貨關係，則在對產品出廠質量檢驗方法的選擇上，採用隨機抽樣的方法來估計次品率就很公平。這是因為從長期來看，這種估計方法是無偏的。比如這一次所估計出來的次品率實際上偏高，廠商吃虧了；但下一次的估計很可能偏低，廠商的損失就可以補回來。由於雙方的交往會長期多次發生，這時採用無偏估計，總的來說可以達到互不吃虧的效果。
不過，在某些場合中，無偏性的要求毫無實際意義。這裡又有兩種情況：一種情況是在某些場合中不可能發生多次抽樣。例如，假設在某廠商和某銷售商之間只會發生一次買賣交易，此後不可能再發生第二次商業往來。這時雙方誰也吃虧不起，這裡就沒有什麼“平均”可言。另一種情況則是估計誤差不可能相互補償，因此“平均”不得。例如，假設需要通過試驗對一個批量的某種型號導彈的系統誤差做出估計。這個時候，既使我們的估計的確做到了無偏，但如果這一批導彈的系統誤差實際上要麼偏左，要麼偏右，結果只能是大部分導彈都不能命中目標，不可能存在“偏左”與“偏右”相互抵消，從而“平均命中”的概念。
由此可見，具有無偏性的估計量不一定就是我們“最需要”的“恰當”估計量。
無偏估計是引數的樣本估計值的期望值等於引數的真實值。估計量的數學期望等於被估計引數，則稱此為無偏估計。
設A'=g(X1,X2,...,Xn)是未知引數A的一個點估計量，若A'滿足 E(A'）= A 則稱A'為A的無偏估計量，否則為有偏估計量。
注：無偏估計就是系統誤差為零的估計。
由於公式A'=g(X1,X2,...,Xn)中的X1,X2,...,Xn一般為一次抽樣的結果，沒有明確是怎麼抽樣的一個過程，所以導致不好理解為什麼A'就是A的無偏估計量，特別是很難舉出例項來給與證明。
經過自己的查閱資料和理解，實際上無偏估計量可以理解如下：
簡單的理解，無偏估計量就是：在樣本中進行n次隨機的抽樣，每次抽樣都可以計算出一個對某一個引數的點估計量，計算n次，得到n個點估計量，然後對n個點估計量計算期望，得到的值和需要估計的總體引數相等，則稱n中的任何點估計量為總體引數的無偏估計量。
舉例：
比如我要對某個學校一個年級的上千個學生估計他們的平均水平（真實值，上帝才知道的數字），那麼我決定抽樣來計算。
我抽出一個10個人的樣本，可以計算出一個均值。那麼如果我下次重新抽樣，抽到的10個人可能就不一樣了，那麼這個從樣本里面計算出來的均值可能就變了，對不對？
因為這個均值是隨著我抽樣變化的，而我抽出哪10個人來計算這個數字是隨機的，那麼這個均值也是隨機的。但是這個均值也會服從一個規律（一個分佈），那就是如果我抽很多次樣本，計算出很多個這樣的均值，這麼多均值們的平均數應該接近上帝才知道的真實平均水平。
如果你能理解“樣本均值”其實也是一個 隨機變數，那麼就可以理解為這個隨機變數的 期望是真實值，所以 無偏（這是無偏的定義）；而它又是一個隨機變數，只是 估計而不精確地等於，所以是無偏估計量。二、計算
假設X為獨立同分布的一組隨機變數，總體為M，隨機抽取N個隨機變數構成一個樣本，
既然是隨機變數，就可以觀察他們的均值方差。
這裡需要注意的是，由於樣本是隨機的，所以X1，X2，X3...都是隨機的。上式中可以看出，樣本均值這個變數的期望就是總體的均值，因此可以說均值是無偏的。
接下來看樣本方差的均值：
根據方差公式，可以得到：
因此：
這裡可以看出樣本方差的期望並不是無偏的，要無偏估計，應該再乘上一個係數：
所以無偏估計的樣本的方差：
n-1既為自由度，就是說，在一個容量為n的樣本里，當確定了n-1個變數以後，第n個變數就確定了，因為樣本均值是無偏的。
協方差除以n-1原理和方差一樣，因為方差為協方差的特殊情況。
參考：
http://www.cnblogs.com/gczr/p/8250272.html
https://blog.csdn.net/yangzhenzhen/article/details/73244592