相信在學習數理統計過程中，肯定很多人會下面這樣的疑問

為什麼樣本方差是除以（n-1），而不是除以n呢？

  那麼今天就一起來看一下是為什麼。

##背景知識
   為了方便後面的表述，我們用 $\bar{X}$ 表示樣本均值，用 $S^{2}$ 表示樣本方差，用 $u$ 表示總體均值，用 $\sigma ^{2}$ 表示總體方差。

總體方差

  整體方差的求得過程如下；
$\begin{aligned} \sigma^{2} =D(X)&=E((X_{i}-E(X))^{2})\\ &=E(X_{i}^{2}-2X_{i}E(X)+E(X)^{2})\\ &=\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}(X_{i}^{2})-2\sum_{i=1}^{n}X_{i}E(X)+nE(X)^{2}) \end{aligned}$

樣本方差

$S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}$

中心極限定理

   設從均值為$u$，方差為$\sigma^{2}$ 的一個任意總體中抽取容量為$n$的樣本，當n 充分大的時候，樣本均值的抽樣分佈服從$N(u,\sigma^{2}/n)$ 的分佈，即；
$\begin{aligned} E(\bar{X})&=u\\ D(\bar{X})&=\sigma ^{2}/n \end{aligned}$

無偏估計

   如果 $\hat{\theta }$ 的期望等於 $\theta$ ，則稱 $\hat{\theta }$ 是 $\theta$ 的無偏估計量，即
$E(\hat{\theta })=\theta$
   例如樣本均值$\bar{X}$ 是總體均值的無偏估計。
$E(\bar{X})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i})=E(X)=u$

  所有的前期準備工作就此結束了。

判斷$S^{2}$是否是$\sigma ^{2}$的無偏估計

  先假設 $\tilde{S}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}$；那麼求$E(\tilde{S}^{2})$ ；
$\begin{aligned} E(\tilde{S}^{2})&=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2})\\ &=E(\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}-n\bar{X}^{2}))\\ &=\frac{1}{n}(nE(X^{2})-nE(\bar{X}^{2}))\\ \end{aligned}$
  由於$\sigma^{2}=D(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}$ ，且樣本均值服從$N(u,\sigma^{2}/n)$ 的分佈所以；
$\begin{aligned} E(\tilde{S}^{2})&=E(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X$