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bzoj 4162 shlw loves matrix II - 行列式 - 矩陣乘法 - 高斯消元

阿新 • • 發佈：2018-12-09

題目大意：
給一個nn的矩陣A，求其k次方。 n ≤ 50 , k ≤ 2 10000

n\le50,k\le2^{10000} 。
題解：
考慮將 A k A^k 視為某個數列的第k項 h
k h_k （嚴格意義上是矩陣列？）
嘗試改造 h h 的遞推式。
考慮： F
( x ) = ∣ A − x I ∣ F(x)=|A-xI| 即A減去若干倍的單位矩陣求行列式。
以33的矩陣為例，它張這個樣子：
F ( x ) = ∣ A 1 , 1 − x A 1 , 2 A 1 , 3 A 2 , 1 A 2 , 2 − x A 2 , 3 A 3 , 1 A 3 , 2 A 3 , 3 − x ∣ F(x)=\left|\begin{matrix} A_{1,1}-x & A_{1,2} & A_{1,3} \\ A_{2,1} & A_{2,2}-x & A_{2,3} \\ A_{3,1} & A_{3,2} & A_{3,3}-x \\ \end{matrix}\right|
顯然其會是一個關於x的n次多項式。
那麼根據定義有： F ( A ) = 0 F(A)=0 （啥你問我為啥帶入的不是實數而是個矩陣？其實嚴格的說法是，把F的係數copy一遍弄出一個新的以矩陣為變數的函式F’，然後根據某個C開頭的定理F’(A)=0，不過直觀"理解" F ( A ) = ∣ A − I A ∣ = 0 F(A)=|A-IA|=0 ）
總之把這個多項式的係數插值出來，可以知道：
∑ i = 0 n f i A i = 0 \sum_{i=0}^nf_iA^i=0
那麼我要求第k項：
∑ i = 0 n f i A i + k − n = ∑ i = 0 n f n − i A k − i = 0 \sum_{i=0}^nf_iA^{i+k-n}=\sum_{i=0}^nf_{n-i}A^{k-i}=0
或者說：
∑ i = 0 n f n − i h k − i = 0 \sum_{i=0}^nf_{n-i}h_{k-i}=0
因此可以通過 h k − n , … , h k − 1 h_{k-n},\dots,h_{k-1} 算出 h k h_k ，套用常係數線性遞推即可。
複雜度 O ( n 4 + n 2 l g k ) O\left(n^4+n^2lgk\right) ，複雜度瓶頸在於算n次行列式和預處理 h 0 , . . . , h n − 1 h_0,...,h_{n-1} 。

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define Rep(i,v) rep(i,0,(int)v.size()-1)
#define lint long long
#define mod 1000000007
#define ull unsigned lint
#define db long double
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fir first
#define sec second
#define gc getchar()
#define debug(x) cerr<<#x<<"="<<x
#define sp <<" "
#define ln <<endl
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
typedef set<int>::iterator sit;
inline int inn()
{
	int x,ch;while((ch=gc)<'0'||ch>'9');
	x=ch^'0';while((ch=gc)>='0'&&ch<='9')
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');return x;
}
const int N=53;int v[N][N],vs[N][N],a[N][N],b[N];
inline int fast_pow(int x,int k,int ans=1) { for(;k;k>>=1,x=(lint)x*x%mod) (k&1)?ans=(lint)ans*x%mod:0;return ans; }
inline int calc(int n,int x)
{
	rep(i,1,n) memcpy(vs[i],v[i],sizeof(int)*(n+1));
	rep(i,1,n) v[i][i]-=x,(v[i][i]<0?v[i][i]+=mod:0);
	int det=1;
	rep(i,1,n)
	{
		int x=i;rep(j,i,n) if(v[j][i]) x=j;
		if(i^x) swap(v[i],v[x]),det=(det?mod-det:0);
		if(!v[i][i]) { det=0;break; }x=fast_pow(v
            
  

           

              
              

            

            
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 題目大意： 給一個nn的矩陣A，求其k次方。
      
       
        
         
          n
         
         
          ≤
         
         
          50
         
   



  
 

    


    
    
bzoj 4162: shlw loves matrix II 拉格朗日插值法+矩陣乘法

     
 
							
							
							題意

給定矩陣 M，請計算 M^n，並將其中每一個元素對 1000000007 取模輸出。 
對於 100% 資料，滿足 n <= 2^10000;k <= 50; 0 <= Mij < 10^9 +7



分析

我們可以帶入k+1 



  
 

    


    
    
bzoj 4162 shlw loves matrix II

     
 ide   its   pre   bsp   display   sdi   假設   spa   gist   求一個 $m \times m$ 矩陣的 $n$ 次方
$m \leq 50,n \leq 2^{10000}$
sol：
特征多項式是 $f(x) = |det(Ix - A)|$，插出 



  
 

    


    
    
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 ios   eterm   char   max   ear   space   \n   term   n+1   裸的異或高斯消元
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=2005;
 



  
 

    


    
    
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 題目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1013 
 思路：
存在二次項，考慮兩式相減可以把所有未知數的二次項消掉，
n+1 個等式用第一個與後面的做差，形成n個不等式，然後
高斯消元即可。

程式碼：

#include<c 



  
 

    


    
    
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題意：比較裸的生成樹計數問題。
  如何處理生成樹計數問題？
基爾霍夫矩陣：
if i==j  Kir[i][j] = i的度數
if i!=j   Kir[i][j] = i到j的平行邊的個數的負數
即，基爾霍夫矩陣 = 度數矩陣 - 鄰接矩陣

將基爾霍夫矩陣刪去第i 



  
 

    


    
    
【線性代數公開課MIT Linear Algebra】 第二課 矩陣與高斯消元

     
 
							
							
							本系列筆記為方便日後自己查閱而寫，更多的是個人見解，也算一種學習的複習與總結，望善始善終吧~



1. Gauss Elimination 高斯消元



還是從線性方程組談起，對於以下方程組： 
 
對其求解，我們使用高斯消元法：


  想辦法消掉第二個與 



  
 

    


    
    
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 std   ++   mes   sizeof   \n   ret   gauss   快速冪   printf   傳送門
利用Cayley-Hamilton定理，用插值法求出特征多項式 \(P(x)\)
然後 \(M^n\equiv M^n(mod~P(x))(mod~P(x))\)
然後就多項式快速冪 



  
 

    


    
    
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 sca   邏輯   都是   --   cstring   位運算   不同的   ret   asi   

題目大意：給定k位二進制下的n個數，求[l,r]區間內有多少個數能通過這幾個數與非得到
首先觀察真值表 我們有A nand A = not A
然後就有not ( A nan 



  
 

    


    
    
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 using   bzoj   break   ble   isf   狀態   clas   memset   c++    
【題目鏈接】 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2466
 
【題目大意】
　　給定一棵樹，每個節點有一盞指示燈 



  
 

    


    
    
實現求解線性方程（矩陣、高斯消去法）------c++程序設計原理與實踐（進階篇）

     
 ipy   類型   cat   sys   sca   solution   gaussian   拷貝   img   步驟：
其中A是一個n*n的系數方陣 向量x和b分別是未知數和常量向量：

這個系統可能有0個、1個或者無窮多個解，這取決於系數矩陣A和向量b。求解線性系統的方法有很多，這裏使用一種經典 



  
 

    


    
    
bzoj 2337  [HNOI2011]XOR和路徑【高斯消元+dp】

     
 name   直接   ring   size   scanf   高斯消元   str   pre   hnoi   首先，我們發現，因為是無向圖，所以相連的點之間是有“依賴性”的，所以不能直接用dp求解。
因為是xor，所以按位處理，於是列線性方程組，設$ x[i] $為點i到n異或和為1的期望，因為從1 



  
 

    


    
    
bzoj 3143  [Hnoi2013]遊走【高斯消元+dp】

     
 sca   source   include   hnoi2013   esp   cst   cpp   std   ans   參考：http://blog.csdn.net/vmurder/article/details/44542575
和2337有點像
設點u的經過期望(還是概率啊我也分不清，以下都 



  
 

    


    
    
BZOJ 1013 [JSOI2008]球形空間產生器sphere | 高斯消元

     
 math   clas   def   做了   bzoj   n)   class   div   com   題目:
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1013


題解:
考慮二維的我們可以明白一個道理:
兩個點左邊可以表示一個方程,然後用兩 



  
 

    


    
    
bzoj 3143 [Hnoi2013]遊走 期望dp+高斯消元

     
 ace   保留   sca   earch   algorithm   整數   include   上進   連通   
[Hnoi2013]遊走
Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 3394  Solved: 1493[Submit][St 



  
 

    


    
    
BZOJ - 1013 高斯消元

     
 線性   ==   scan   矩陣   log   vector   第一個   for   i++   n維空間中給出n+1個球面上的點求圓心坐標(x0,x1,...xn-1)
任選其中一個點坐標如第一個點(a0,b0...z0)
(x0-a0)^2+(x1-b0)^2+...=r^2
對於剩下的n個點 



  
 

    


    
    
【高斯消元】BZOJ3503 [Cqoi2014]和諧矩陣

     
 math   esp   fine   eps   bzoj3503   mem   組成   time   ios   
3503: [Cqoi2014]和諧矩陣
Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSec  Special JudgeSubmit: 1197   



  
 

    


    
    
bzoj 3270 博物館 高斯消元

     
 inline   n)   int   void   online   clu   fine   con   zoj   題面
題目傳送門
解法
設\((x,y)\)表示第一個人在\(x\)房間，第二個人在\(y\)房間，然後列一個方程組即可
直接用高斯消元解一下就行了
時間復雜度：\(O(n^6)\)
代碼