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初學計算幾何（一）——點與向量·叉積與點積

阿新 • • 發佈：2018-12-09

前言

計算幾何應該是一個比較複雜的東西吧，它的應用十分廣泛。為此，我花了很長的時間來學習計算幾何。

點與向量

點

點應該還算比較簡單吧！對於平面上的一個座標為(x,y)的點，我們可以用P(x,y)來表示它。

向量

向量表示的是一個有大小和方向的量，在平面座標系下它與點一樣也用兩個數來表示。這兩個數的實際含義是將這個向量的起點移至原點後終點的座標。通常，我們用v→來表示一個向量，用|v→|來表示向量v→的長度。

點與向量的基本定義與運算

雖然點與向量十分相像，但是它們在概念上還是有許多不同的。

下面是它們的基本定義與運算。

struct Point//一個結構體用來儲存一個點
{
    double x,y;//分別儲存點的兩個座標
    Point(double x=0,double y=0):x(x),y(y){}//建構函式
};
typedef Point Vector;//向量在程式碼中其實與點差不多，因此可以直接typedef一下
inline Vector operator + (Vector A,Vector B) {return Vector(A.x+B.x,A.y+B.y);}//向量+向量=向量
inline Vector operator - (Point  A,Point  B) {return Vector(A.x-B.x,A.y-B.y);}//點-點=向量
 

inline Vector operator * (Vector A,double x) {return Vector(A.x*x,A.y*x);}//向量*一個數=向量
inline Vector operator / (Vector A,double x) {return Vector(A.x/x,A.y/x);}//向量/一個數=向量

點積

下面，先來介紹一下向量的點積。

點積的計算公式及其擴充套件

v→(X1,Y1)·u→(X2,Y2)=X1X2+Y1Y2

對於兩個向量v→和u→，如果它們的夾角為θ，則它們的點積就等同於

|v→||u→|cosθ。

既然這樣，我們就可以推匯出以下公式：

向量的長度：v→·v→（因為對於兩個相同的向量，cosθ=0，因此v→·v→=|v→||v→|=|v→|2）

向量的夾角：acos(v→·u→/|v→|/|u→|)（因為v→·u→/|v→|/|u→|=cosθ，所以θ=acos(v→·u→/|v→|/|u→|)）

以下是程式碼實現：

inline double Dot(Vector A,Vector B) {return A.x*B.x+A.y*B.y;}//點積
inline double Len(Vector A) {return sqrt(Dot(A,A));}//向量的長度等於sqrt(A,A)
inline double Ang(Vector A,Vector B) {return acos(Dot(A,B)/Len(A)/Len(B));}//向量的夾角等於acos(A·B/|A|/|B|)
點積的正負

該如何判斷兩個向量的點積的正負呢？

點積的正負是由兩個向量的夾角θ所決定的。

  • 當