計算幾何（一）：凸包問題（Convex Hull）
阿新 • • 發佈：2020-09-22
### 引言
首先介紹下什麼是凸包？如下圖：
在一個二維座標系中，有若干點雜亂排列著，將最外層的點連線起來構成的凸多邊型，它能包含給定的所有的點，這個多邊形就是凸包。
> 實際上可以理解為用一個橡皮筋包含住所有給定點的形態。
>
> 凸包用最小的周長圍住了給定的所有點。如果一個凹多邊形圍住了所有的點，它的周長一定不是最小，如下圖。根據三角不等式，凸多邊形在周長上一定是最優的。
>
> 
### 凸包的求法
尋找凸包的演算法有很多種，常用的求法有 Graham 掃描法和 Andrew 演算法
#### Graham Scan 演算法求凸包
Graham Scan 演算法是一種十分簡單高效的二維凸包演算法，能夠在 $O(nlogn)$ 的時間內找到凸包。
Graham Scan 演算法的做法是先確定一個起點（一般是最左邊的點和最右邊的點），然後一個個點掃過去，如果新加入的點和之前已經找到的點所構成的 "殼" 凸性沒有變化，就繼續掃，否則就把已經找到的最後一個點刪去，再比較凸性，直到凸性不發生變化。分別掃描上下兩個 "殼"，合併在一起，凸包就找到了。這麼說很抽象，我們看圖來解釋：
先找 "下殼"，上下其實是一樣的。首先加入兩個點 A 和 B。
然後插入第三個點 C，並計算 $\overrightarrow{AB}×\overrightarrow{BC}$ 的向量積，卻發現[向量積係數](https://www.cnblogs.com/RioTian/p/13708238.html)小於（等於）0，也就是說 $\overrightarrow{BC}$ 在 $\overrightarrow{AB}$ 的順時針方向上。
於是刪去 B 點。
按照這樣的方法依次掃描，找完 "下殼" 後，再找 "上殼"。
關於掃描的順序，有座標序和極角序兩種，本文采用前者。座標序是比較兩個點的 x 座標，小的先被掃描（掃描上凸殼的時候反過來），如果兩個點 x 座標相同，那麼就比較 y 座標，同樣的也是小的先被掃描（掃描上凸殼的時候也是反過來）。極角序使用 `atan2` 函式的返回值進行比較，讀者可以自己嘗試寫下。
下面貼下程式碼：Graham Scan 演算法
```c++
struct Point
{
double x, y;
Point operator-(Point & p)
{
Point t;
t.x = x - p.x;
t.y = y - p.y;
return t;
}
double cross(Point p) // 向量叉積
{
return x * p.y - p.x * y;
}
};
bool cmp(Point & p1, Point & p2)
{
if (p1.x != p2.x)
return p1.x < p2.x;
return p1.y < p2.y;
}
Point point[1005]; // 無序點
int convex[1005]; // 儲存組成凸包的點的下標
int n; // 座標系的無序點的個數
int GetConvexHull()
{
sort(point, point + n, cmp);
int temp;
int total = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) // 下凸包
{
while (total >