一、什麼是計算幾何：

計算幾何學（computational geometry）發展於二十世紀七十年代末，是一個正在飛速發展的新型學科。作為一個計算機演算法類學科的分支，計算幾何討論更多的是計算而非幾何，幾何只是它的表現形式，核心還是演算法。現代意義上的計算幾何起源於1978年M.I.Shamos的博士論文，是計算機圖形學、CAD、人工智慧等多領域理論基礎。計算幾何可以簡單理解為“演算法設計與分析”課程的一個分支，是一個融入離散幾何、組合幾何，用幾何的思想來解決問題的學科。

二、預備知識：

• 語言：C/C++
• 資料結構與演算法：大O表示法，簡單的複雜度分析方法，基礎排序、查詢等演算法
• 數學：基本的高等數學、線性代數、概率論知識，離散數學基礎

三、基本概念：凸包

計算幾何領域幾乎所有的問題都可以“歸約”為凸包問題，因此學習凸包問題對整個計算幾何體系至關重要。

凸包（Convex Hull）定義為：

平面的一個子集S被稱為是“凸”的，當且僅當對於任意兩點p，s∈S，線段ps都完全屬於S。（平面凸包定義）

如下圖所示：

上圖左邊集合中任意兩點組成的線段都屬於該集合，因此是一個凸集，而右邊集合則不是。

集合S的凸包CH(S)，就是包含S的最小凸集——即包含S的所有凸集的交。

舉個形象的例子來直觀理解凸包。假設一個板子上有許多釘子，你撐開一個橡皮筋要去套住它們：

當你鬆手的時候橡皮筋就會變成這種狀態：

橡皮筋的狀態就可以看作所謂的“凸包”。它的範圍是由“外部”的一些釘子來決定的，而“內部”的釘子並不起作用。當然內部與外部都是相對而言的，若某個釘子能移動位置，就可能使某些點“起作用”，也可能使某些點失去“作用”：

1、凸包應用舉例

畫家繪畫時經常會將幾種顏料按比例混合，以得到想要的某種顏色。而所有顏色都能由紅、綠、藍三種基色混合得到（實際上是色光三原色而非美術），簡化起見我們只考慮紅色（R）和綠色（G）兩種顏色，每種顏色可以看成紅色和綠色的函式：C = (R, G)。

例如某種顏色可以表示為 X = (10%, 35%)，另一種顏色為 Y = (16%, 20%)。假設我們需要的顏色為U = (12%, 30%)，怎樣的X和Y的比例能“勾兌”得到U呢？

答案是：兩份的X加上一份的Y即可得到U，即 X:Y = 2:1。

試探性的湊出一個比值顯然有些麻煩，更大的問題在於很多時候答案是湊不出來的。例如 V = (13%, 22%)

現在的問題就能歸結為：

• 給定某些顏色X, Y, Z...能否通過他們勾兌出特定顏色U
• 若能勾兌，如何計算原料比例

凸包是一種幾何模型，而幾何最基礎的概念就是空間，我們將顏色的歐氏空間定義為一種“顏色空間”。我們將每一種顏色都對應到顏色空間的一個點。

上述顏色X，Y，Z、U和V用點表示為：

X = (10, 35), Y = (16, 20), Z = (7, 15)                  U = (12, 30), V = (13, 22)

橫軸表示紅色分量數值，縱軸表示綠色分量數值，將這些點在影象上表示為：

觀察U和V的位置，我們發現：

U線上段XY上，並且 XU:UY = 1:2，是勾兌比例的反比，並且U的勾兌不需要X和Y之外的顏色參與（可以考慮極端情況，U線上段XY的端點上，只需要一種顏色即可）；

而V並不在線段XY上，但是在X, Y, Z縮圈定的範圍內，所以V能被這三種顏色勾兌出來，而V到三個原料點距離的反比正好也是勾兌比例1:3:1；

2、凸包的數學推導

上述發現有著更嚴格的推導證明其正確性，推導的理論基礎正是凸包：

對於二維空間中點集 S = {p1, p2, ... , pn}，p能被其他點的線性組合表示出來：

p = [p1, p2, ... , pn]λ = λ1p1 + λ2p2 + ... + λnpn

其中λ為一個向量，由n個分量組成，即各點的係數（相當於勾兌比例）。其中有些組合（相當於勾兌方案）被稱為凸組合（convex combination），具體來講就是λ要滿足：

λ1 + λ2 + ... + λn = 1，並且min{λ1, λ2, ... ,λn} ≥ 0

即各點係數非負（相當於所用顏料量不可能是負的）且總和為1。

如果我們新加入的顏色Z落線上段XY上，顯然Z本身就能通過X和Y來勾兌，新加入Z對於勾兌出V是毫無幫助的。這種關係被稱為：凸相關。當Z與X, Y不是凸相關的時候就會組成上圖所示的三角形平面區域，區域內的所有顏色都能被X, Y和Z勾兌出來。若繼續加入一個新的點，並且這個點與X, Y, Z凸無關，就能改變這個區域：

這和一開始我們加入新的釘子本質是一樣的，點相當於釘子，而橡皮筋圈定的範圍就是凸包。

本文是學堂線上課程《計算幾何》的筆記，參考資料：《計算幾何——演算法與應用》Mark de Berg等著，鄧俊輝譯；《計算幾何——演算法設計與分析》 周培德著