整除分塊學習筆記

Luogu P2261 [CQOI2007]餘數求和

題目：

給定\(n, k\)（\(n,k\leq 10^9\)），求\[\sum_{i=1}^n i\rm \;mod \;k\]

分析：

\[\sum_{i=1}^n i\rm \;mod \;k\]

由取模意義可得：

\[=\sum_{i=1}^n k-i\times \left\lfloor\frac{k}{i}\right\rfloor\]

\[=nk-\sum_{i=1}^n i\times \left\lfloor\frac{k}{i}\right\rfloor\]

分析樣例：

發現\(\left\lfloor\frac{k}{i}\right\rfloor\)取值很少（在\(\sqrt{k}\)左右），對於一個區間\([l,r]\)，滿足

\[\forall x,y\in[l,r]\quad\left\lfloor\frac{k}{x}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{k}{y}\right\rfloor\]

那麼，若已知區間左端點\(l\)，如何求出\(r\)?

設\(p=\left\lfloor\frac{k}{l}\right\rfloor\)，即所有\(x\in[l,r]\)的\(\left\lfloor\frac{k}{x}\right\rfloor\)的值

要求區間的右端點，即使\(x\)最大並且滿足：

\[\left\lfloor\frac{k}{x}\right\rfloor=p\]

由向下取整定義可得

\[\frac{k}{x}\geq p\]

\[\because x>0\]

\[\therefore k\geq px\]

\[x\leq \frac{k}{p}\]

由\(x\)取最大正整數（區間右端點）可得：

\[x=\left\lfloor\frac{k}{p}\right\rfloor\]

所以區間右端點：\[r=\left\lfloor\frac{k}{\left\lfloor\frac{k}{l}\right\rfloor}\right\rfloor\]

回到開始的式子，我們已經求出了區間，對於區間內的答案，為（此處省略\(nk\)，因為可以一開始就算好）：

\[\sum_{i=l}^r i\times \left\lfloor\frac{k}{i}\right\rfloor\]

因為區間內的\(\left\lfloor\frac{k}{i}\right\rfloor\)相同，所以可以直接取\(\left\lfloor\frac{k}{l}\right\rfloor\)

\[\sum_{i=l}^r i\times \left\lfloor\frac{k}{l}\right\rfloor\]

\[=\frac{(l+r)(r-l+1)}{2}\times\left\lfloor\frac{k}{l}\right\rfloor\]

最後的答案即為\(nk\)減去所有區間答案的和

（注意：若\(\left\lfloor\frac{k}{l}\right\rfloor=0\)，則區間為\([l,\infty]\)，實現時設定成\(n\)即可，運算中出現\(r>n\)也需要設定\(r=n\)）

若還有不理解，參考程式碼：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll ans = 0, l = 1, r = 0, n, k;

int main()
{
    cin >> n >> k;
    while(r < n)
    {
        r = (k / l ? min(k / (k / l), n) : n);
        ans += (l + r) * (r - l + 1) / 2 * (k / l);
        l = r + 1;
    }
    cout << n * k - ans << endl;
    return 0;
}

後記：

發現沒有多少個題解（也有可能是我沒看到）完整的解釋了右邊界\(r\)的來歷，於是花了一個下午（沒辦法我太弱了\(qwq\)）來寫出完整過程，過程會有點囉嗦，\(\rm dalao\)不要介意。

\[\frak {The\;End}\]